Tarkibga o'tish

Chiziqli elastiklik

Ushbu bobda chiziqli elastik materiallarning konstitutiv qonuni (Hooke qonuni) ko‘rib chiqiladi. Modelni tanlash va kirish sozlamalari tafsilotlari uchun funksiyalar bo‘limidagi 03_material ga qarang.

Hodisa (chiziqli elastik javob)

Chiziqli elastik jism — yuk ta’sirida deformatsiya yetarlicha kichik bo‘lgan sohada kuchlanish va deformatsiya orasida chiziqli munosabat mavjud bo‘lib, yuk olib tashlanganda barcha deformatsiya dastlabki holatga qaytadigan, qaytar va tarixga bog‘liq bo‘lmagan javob ko‘rsatadigan materialdir. Plastiklik va creepdan farqli ravishda, u holatni ifodalovchi ichki o‘zgaruvchilarga (plastik deformatsiya yoki viskoz deformatsiya kabi) ega emas va kuchlanish faqat joriy deformatsiya bilan yagona tarzda aniqlanadi.

Kichik deformatsiya sohasida Cauchy kuchlanishi \(\boldsymbol{\sigma}\) va infinitesimal deformatsiya \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ishlatiladi; chekli deformatsiya sohasida (katta aylanishlar mavjud, lekin deformatsiyaning o‘zi kichik bo‘lgan masalalarda) ikkinchi Piola-Kirchhoff kuchlanishi \(\boldsymbol{S}\) va Green-Lagrange deformatsiyasi \(\boldsymbol{E}\) ishlatiladi (St.Venant-Kirchhoff materiali).

Konstitutiv qonun

Izotrop chiziqli elastik material

Kichik deformatsiya sohasidagi izotrop Hooke qonuni Lamé konstantalari \(\lambda, \mu\) yordamida

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

ko‘rinishida ifodalanadi. Komponent ko‘rinishida

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

bo‘ladi va deformatsiya bilan ikki karra qisqartirish \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) ni beradi. Lamé konstantalari Young moduli \(E\) va Poisson koeffitsiyenti \(\nu\) bilan quyidagicha bog‘langan:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt belgilanishida deformatsiya vektori \(\hat{\varepsilon}\) va kuchlanish vektori \(\hat{\sigma}\) orasidagi munosabat \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) deb yoziladi va 3D material matritsasi \(D\)

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

bilan beriladi (amalga oshirishda shu matritsaviy ko‘rinish ishlatiladi).

Ortotrop chiziqli elastik material

Asosiy o‘qlar bo‘yicha elastik konstantalari turlicha bo‘lgan materiallar uchun to‘qqizta mustaqil konstantaga ega ortotrop model qo‘llanadi: asosiy yo‘nalishlardagi Young modullari \(E_1, E_2, E_3\), asosiy o‘qlar orasidagi Poisson koeffitsiyentlari \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) va shear modullari \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). \(D\) matritsasining aniq shakli standart adabiyotlarda berilgan.

Chekli deformatsiya sohasi: St.Venant-Kirchhoff materiali

Katta aylanishlar mavjud, ammo deformatsiyaning o‘zi kichik bo‘lgan masalalarda ikkinchi Piola-Kirchhoff kuchlanishi \(\boldsymbol{S}\) va Green-Lagrange deformatsiyasi \(\boldsymbol{E}\) orasidagi chiziqli elastik qonun sifatida St.Venant-Kirchhoff materiali qo‘llanadi:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé konstantalari \(\lambda, \mu\) ning ta’rifi kichik deformatsiya holatidagidek. Biroq kuchlanish va deformatsiya juftining ta’rifi boshqacha bo‘lgani uchun bu kichik deformatsiyadagi Hooke qonunidan farqli konstitutiv qonun ekaniga e’tibor bering.

Hypoelastik material

Updated Lagrange usulida nisbiy Kirchhoff kuchlanish tensorining Jaumann rate’i \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) va deformatsiya tezligi tensori \(\boldsymbol{D}\) orasidagi chiziqli elastik qonun

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

ni qabul qiladigan hypoelastik material ishlatiladi. Bu yerda ham \(\boldsymbol{C}\) ning Lamé konstantalari orqali ta’rifi yuqoridagidek, ammo kuchlanish-deformatsiya jufti farq qilgani uchun konstitutiv qonun ham boshqacha. Vaqt bo‘yicha integrallash tartibi (oldinga Euler integrallashi va markaziy ayirmali approksimatsiya) orqali \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) ning yangilanish tafsilotlari uchun tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex ga qarang.

Ikki o‘lchamli tahlil va shell elementlar uchun qisqartirish

Tekis kuchlanish (\(\sigma_{33} = 0\))

Yupqa plastina va shell yuklanishini ifodalovchi tekis kuchlanish holatida \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) deb faraz qilinadi va tekislikdan tashqari deformatsiya komponenti \(\varepsilon_{33}\) algebraik ravishda chiqarib tashlangan \(D\) ishlatiladi:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Tekis deformatsiya (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Qalinlik yo‘nalishi cheklangan uzun strukturaning kesimini ifodalovchi tekis deformatsiyada \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) deb faraz qilinadi:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

O‘q-simmetrik

Silindrik koordinatalarda \((r, \theta, z)\), \(\theta\) yo‘nalishda bir jinsli masalalarni ko‘radigan o‘q-simmetrik tahlilda \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) va \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) ning to‘rtta komponenti saqlanadi va

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

hosil bo‘ladi.

Shell elementlar (tekis kuchlanish + ko‘ndalang shear)

Shell elementlarda tekislik ichidagi kuchlanish tekis kuchlanish sifatida qaraladi; bundan tashqari, ko‘ndalang shear deformatsiya komponentlari \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) uchun shear correction koeffitsiyenti \(\kappa\) (odatda \(\kappa = 5/6\)) bilan \(\kappa\, G\) ishlatiladi. Har bir elementning aniq formulirovkasi uchun Yuqori samarali element formulirovkalari ga qarang. Funksiyalar bo‘limi 03_material dagi “shell elementlar faqat chiziqli elastiklikni qo‘llaydi” degan spetsifikatsiya tekislik ichidagi holatni tekis kuchlanish sifatida soddalashtirishga asoslangan.

Haroratga bog‘liqlik

Young moduli \(E\), Poisson koeffitsiyenti \(\nu\) va chiziqli issiqlik kengayish koeffitsiyenti \(\alpha\) odatda harorat \(T\) funksiyasi sifatida beriladi. FrontISTR da cheklangan harorat nuqtalari ketma-ketligi \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) uchun qiymatlar kiritiladi; hisoblashdagi \(T\) harorat uchun qo‘shni nuqtalar orasida chiziqli interpolatsiya qo‘llanadi. Diapazondan tashqaridagi haroratlar (\(T < T_1\) yoki \(T > T_n\)) uchun eng yaqin chekka nuqta \(T_1\) yoki \(T_n\) qiymati ishlatiladi (doimiy ekstrapolyatsiya).

Issiqlik va issiqlik o‘tkazuvchanlik xossalarining (zichlik, solishtirma issiqlik va issiqlik o‘tkazuvchanlik) haroratga bog‘liqligi uchun Issiqlik xossalari ga qarang. Interpolatsiya qoidalari ular bilan bir xil.

Tegishli mavzular

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status