Nochiziqli iteratsiya va vaqt integratsiyasi¶

FrontISTR tahlili har bir qadamning inkrement nazorati doirasida, har bir substepda nochiziqli iteratsiya va vaqt integratsiyasini birlashtirib yechimni ilgari suradi. Ushbu sahifada tashqi qadam nazorati bilan ichki chiziqli yechgich orasidagi iterativ tuzilmalar, ya’ni Newton-Raphson iteratsiyasi, kontakt iteratsiyasi, dinamik tahlildagi vaqt integratsiyasi, shuningdek nostatsionar issiqlik o‘tkazuvchanligida vaqt bo‘yicha siljish va nochiziqli iteratsiya doirasi bayon qilinadi.

Funksiyaning umumiy ko‘rinishi¶

Qadam ichidagi nochiziqli yechim va vaqt integratsiyasi tashqaridan ichkariga bir nechta ichma-ich sikldan iborat. Har bir qatlam quyidagi vazifani bajaradi.

Tahlil turiga qarab ushbu qatlamlarning qaysilari ishlatilishi farq qiladi.

Kontakt turi va algoritmini tanlashning o‘zi uchun Kontakt va ichiga joylashtirish ga qarang. Ushbu sahifa tanlangan algoritmning iterativ sikl sifatida qanday tuzilishini bayon qiladi.

Yechish sxemasini tanlash¶

Iterativ tuzilma tahlil turini tanlash (Tahlil turlari), nochiziqlilik mavjudligi (geometrik nochiziqlilik, material nochiziqliligi, kontakt) va kontakt algoritmi (SLAGRANGE yoki ALAGRANGE) asosida avtomatik aniqlanadi. Foydalanuvchi bevosita iteratsiyalar sonining yuqori chegarasi va yaqinlashish mezonlarini sozlaydi.

Sozlash bo‘yicha tavsiyalar quyidagicha.

• Standart tahlillarda iteratsiyalar sonining sukut bo‘yicha yuqori chegarasi odatda yetarli. Yaqinlashishi qiyin muammo maksimal iteratsiya soniga yetib, yaqinlashmasa, avval cutback (Qadam nazorati) ni qo‘llang; shunda ham yaxshilanmasa, yuqori chegarani oshiring.
• Yaqinlashish mezonlarini tahlil barqarorligi va hisoblash vaqti orasidagi muvozanatga qarab sozlang. Mezonga qat’iyroq talab qo‘yish muvozanat aniqligini oshiradi, biroq iteratsiyalar sonini ko‘paytiradi. Kontakt tahlili yoki Lagrange ko‘paytuvchilari qatnashgan tahlilda qoldiq mezoniga qo‘shimcha ravishda siljish inkrementi va Lagrange mezonlarini qo‘llash barqarorlikni yaxshilashi mumkin.
• Dinamik tahlilning vaqt integratsiyasi parametrlari (Newmark-β koeffitsiyentlari) uchun standart qiymatlar kombinatsiyasidan boshlang va tebranish javobining sonli so‘nish xususiyatini o‘zgartirish kerak bo‘lsa sozlang.
• Nostatsionar issiqlik o‘tkazuvchanligida harorat o‘zgarishi silliq bo‘lgan muammolar uchun Crank-Nicolson, keskin o‘zgarishlar yoki uzoq vaqtli barqarorlik muhim bo‘lganda Backward Euler ni tanlang.

Statik tahlildagi Newton-Raphson iteratsiyasi¶

Nochiziqli statik tahlilda geometrik yoki material nochiziqliligini o‘z ichiga olgan muvozanat tenglamalari Newton-Raphson usuli bilan iterativ yechiladi. Har bir iteratsiya quyidagi tartibda bajariladi.

1. Joriy yechimda qoldiq vektori \(\boldsymbol{R}\) ni baholang.
2. Tangensial qattiqlik matritsasi \(\boldsymbol{K}_T\) ni yig‘ing.
3. \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) chiziqli sistemasini yechib, siljish tuzatmasi \(\Delta \boldsymbol{u}\) ni oling.
4. Yechimni \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\) bo‘yicha yangilang.
5. Yaqinlashish mezonlari bilan taqqoslang; yaqinlashgan bo‘lsa iteratsiyani tugating, aks holda 1-bosqichga qayting.

Chiziqli sistemani yechish (3-bosqich) chiziqli yechgich zimmasida. Yechgich va oldindan shartlashni tanlash uchun Yechgich va oldindan shartlash ga qarang.

Iteratsiya !STEP dagi qadam nazorati parametrlari bilan boshqariladi. Asosiy boshqaruv qiymatlari quyidagilar.

Qadam nazorati da avtomatik inkrement va cutback qarorida ishlatiladigan Newton iteratsiyalarining maksimal soni aynan shu sahifada bayon qilingan Newton iteratsiyalari sonini anglatadi. Avtomatik inkrement kam iteratsiya talab qilgan substepdan keyin vaqt inkrementini oshiradi, ko‘p iteratsiya talab qilgan substepdan keyin esa kamaytiradi.

Statik tahlildagi kontakt iteratsiyasi¶

Kontakt tahlilida kontakt sirtlarining tegishi, ajralishi va sirpanishi sababli kontakt holati iteratsiya davomida o‘zgaradi; shu bois Newton iteratsiyasi kontakt holatini yangilash bilan birga tuziladi. Tuzilish kontakt yechish algoritmiga qarab farq qiladi.

Ikkala algoritmda ham eng tashqarida kontakt holatini qidirish sikli joylashadi. Har bir aylanishda ichki Newton iteratsiyasi yaqinlashgach, kontakt holati (tegish/ajralish) qayta baholanadi; holat o‘zgarsa, qattiqlik matritsasi tuzilishi yangilanadi va ichki iteratsiya qayta bajariladi. Kontakt holati oldingi aylanishdan o‘zgarmasa va kontaktning yaqinlashish mezonlari (kontakt kuchi va Lagrange ko‘paytuvchisi mezonlari) bajarilsa, sikl tugaydi. Yuqori chegara !STEP dagi MAXCONTITER bilan belgilanadi.

SLAGRANGE kontaktida standart Lagrange ko‘paytuvchilari usuli orqali kontakt erkinlik darajalari chiziqli sistemaga kiritiladi va kontakt holatini qidirish sikli ichida Newton iteratsiyasi bevosita joylashadigan ikki qatlamli tuzilma hosil bo‘ladi. Kengaytirilgan Lagrange iteratsiyasi yo‘q.

ALAGRANGE kontaktida kontakt holatini qidirish sikli ichida qo‘shimcha kengaytirilgan Lagrange iteratsiyasi, uning ichida esa Newton iteratsiyasi joylashadigan uch qatlamli tuzilma qo‘llanadi. Kengaytirilgan Lagrange iteratsiyasining har bir aylanishida kontakt cheklovi penaltı hadi va Lagrange ko‘paytuvchisi kombinatsiyasi bilan qayta baholanib, cheklov aniqligi bosqichma-bosqich yaxshilanadi. Kengaytirilgan Lagrange iteratsiyalari sonining yuqori chegarasi !CONTACT_ALGO dagi AUGITER bilan belgilanadi.

Kontakt iteratsiyasi boshqaruv qiymatlari quyidagicha.

Qadam nazorati ning avtomatik inkrement mezonida ishlatiladigan kontakt iteratsiyalari soni ushbu sahifada bayon qilingan kontakt holatini yangilashni o‘z ichiga olgan iteratsiyalar sonini anglatadi. Kontaktning tegish va ajralish holatlari tez-tez almashadigan tahlillarda kontakt iteratsiyalari ko‘payadi va bu avtomatik inkrement hamda cutback qaroriga ham ta’sir qiladi. Kontakt turi, juftlik ta’rifi va algoritm tanlovi uchun Kontakt va ichiga joylashtirish ga qarang. Kontakt erkinlik darajalarini o‘z ichiga olgan chiziqli sistemani yechish uchun Yechgich va oldindan shartlash ga qarang.

Dinamik tahlilda vaqt integratsiyasi (noaniq sxema)¶

Dinamik tahlilning noaniq sxemasi Newmark-β usuli orqali har bir vaqt qadamida keyingi vaqtdagi siljish, tezlik va tezlanishni bog‘laydi va ularni harakat tenglamasi bilan birlashtirib \(t + \Delta t\) vaqtdagi holatni topadi. Vaqt qadami \(\Delta t\) uchun barqarorlik cheklovi yumshoq bo‘lib, past chastotali komponentlar ustun bo‘lgan konstruktiv javobni samarali yechish mumkin.

Vaqt integratsiyasining ikkita parametri mavjud.

\(\beta = 1/4\) va \(\gamma = 1/2\) kombinatsiyasi o‘rtacha tezlanish usuli deb ataladi; u shartsiz barqaror va sonli so‘nishsiz standart tanlovdir. Sonli so‘nish kiritish uchun \(\gamma\) ni \(1/2\) dan katta oling. Parametrlar kombinatsiyasi, barqarorlik va xato xususiyatlarining matematik tafsilotlari uchun nazariya qo‘llanmasiga qarang.

Nochiziqlilik (geometrik, material yoki kontakt) mavjud bo‘lsa, har bir vaqt qadami ichida Newton iteratsiyasi bajariladi, iteratsiya davomida chiziqli sistema yechilib holat yangilanadi. Yaqinlashish mezonlari sifatida statik tahlildagi kabi CONVERG va boshqalar ishlatiladi. Kontaktli dinamik tahlilda statik tahlildagi kontakt iteratsiyasi bilan bir xil iterativ tuzilma vaqt qadami ichiga kiritiladi.

Dinamik tahlilning vaqt qadami asosan !STEP dagi vaqt shartlari bilan boshqariladi. Sobit inkrementda !STEP dagi DTIME vaqt qadami, ETIME esa qadamning vaqt oralig‘i sifatida belgilanadi. !DYNAMIC dagi n_step va t_delta !STEP tashlab ketilganda yoki orqaga moslik uchun sukut bo‘yicha qiymatlar sifatida ishlatiladi. Nochiziqli noaniq sxemada !STEP dagi INC_TYPE=AUTO orqali avtomatik inkrement va cutback ni yoqish mumkin; vaqt qadami Newton va kontakt iteratsiyalari holatiga qarab oshiriladi yoki kamaytiriladi. Sobit yoki avtomatik inkrementdan qat’i nazar, vaqt qadami yaqinlashish va talab etilgan aniqlikning ikkalasini hisobga olib belgilanadi.

Dinamik tahlilda vaqt integratsiyasi (oshkor sxema)¶

Dinamik tahlilning oshkor sxemasi markaziy ayirmalar usulidan foydalanib, faqat oldingi vaqtdagi siljish, tezlik va tezlanish ma’lumotlaridan keyingi vaqt holatini bevosita hisoblaydi. Tenglamalar sistemasini yechmagani uchun bir qadamga hisoblash xarajati kichik. Nochiziqlilik mavjud bo‘lsa ham, har bir vaqt qadamida Newton iteratsiyasiz bir bosqichli yangilash bajariladi.

Vaqt qadami tizimning eng kichik xos davriga asoslangan barqarorlik shartining (CFL sharti) yuqori chegarasiga ega. Bu chegaradan katta vaqt qadamida sonli yechim divergensiyaga uchraydi, shuning uchun noaniq sxemadagi kabi katta vaqt qadamini olish mumkin emas. Zarba, to‘lqin tarqalishi va yuqori tezlikdagi kontakt kabi avvaldan kichik vaqt qadami talab qiladigan hodisalarda oshkor sxema qulay.

Kontakt mavjud bo‘lsa, kontakt cheklovi Forward Increment Lagrange usuli bilan ko‘rib chiqiladi. Kontakt kuchi oshkor sxemaning bir bosqichli yangilanishiga mos ravishda baholanadi.

Chastotaviy javob tahlilining yechish usuli¶

Chastotaviy javob tahlili modal superpozitsiya usuli bilan davriy statsionar javobni chastota sohasida bevosita topadi. Qo‘zg‘atish chastotasini o‘zgartirib javobni baholaydi va vaqt tarixini iterativ kuzatish talab qilinmaydi. Nochiziqli iteratsiya ham, vaqt integratsiyasi ham bajarilmaydi.

Chastotaviy javob tahlilini bajarishdan oldin ayni tizim uchun modal tahlil bajarilib, zarur sondagi xos modalar ajratib olinishi kerak. Faqat chiziqli model qo‘llab-quvvatlanadi; geometrik yoki material nochiziqliligi yoqilgan bo‘lsa bajarib bo‘lmaydi. Tahlil turining o‘rni uchun Tahlil turlari ga qarang.

Nostatsionar issiqlik o‘tkazuvchanligida vaqt bo‘yicha siljish va nochiziqli iteratsiya¶

Nostatsionar issiqlik o‘tkazuvchanligi !HEAT ichida yakunlanadigan o‘z vaqt sikliga ega. Vaqt qadami konstruktiv tahlildagi !STEP va !AUTOINC_PARAM dan alohida yo‘l bilan boshqariladi; material xossalari haroratga bog‘liq bo‘lsa, har bir vaqt qadami ichida nochiziqli iteratsiya bajariladi.

Vaqt integratsiyasi sxemasi !HEAT dagi \(\beta\) parametri bilan tanlanadi.

Vaqt qadami boshlang‘ich vaqt qadami, minimal vaqt qadami va bir qadamdagi maksimal harorat o‘zgarishini birlashtirib adaptiv boshqariladi. Har bir vaqt qadami hisobidan so‘ng harorat o‘zgarishi DELTMX dan oshsa, vaqt qadami kichraytirilib qayta hisoblanadi. Vaqt qadami minimal DTMIN dan kichik bo‘lsa, tahlil to‘xtatiladi.

Material xossalari haroratga bog‘liq bo‘lsa, har bir vaqt qadami ichida nochiziqli iteratsiya bajariladi. Iteratsiya quyidagicha boshqariladi.

Statsionar issiqlik o‘tkazuvchanligida vaqt qadami ishlatilmaydi; material haroratga bog‘liq bo‘lsa, faqat nochiziqli iteratsiya bajariladi. Issiqlik o‘tkazuvchanligi tahlilining vaqt nazorati konstruktiv tahlildagi !STEP dan mustaqil, shuning uchun vaqt qadamini sozlashda !HEAT spetsifikatsiyasini tekshiring.

Tegishli mavzular¶

• Tahlil turlari — tahlil turlarining o‘rni.
• Kontakt va ichiga joylashtirish — kontakt turi, juftlik ta’rifi va yechish algoritmini tanlash.
• Yechgich va oldindan shartlash — Newton iteratsiyasi ichida chaqiriladigan chiziqli tenglamalar sistemasini yechish.
• Qadam nazorati — tashqi qadam va substep nazorati, avtomatik inkrement va cutback.
• Newton-Raphson usuli (nazariya) — iterativ yechish usulining formulasi.
• Yaqinlashish mezoni (nazariya) — yaqinlashish ko‘rsatkichlarining matematik ta’rifi.
• Dinamik tahlil usullari (nazariya) — Newmark-β va markaziy ayirmalar usullarining formulasi.
• Nostatsionar issiqlik o‘tkazuvchanligi tahlili (nazariya) — issiqlik o‘tkazuvchanligining vaqt integratsiyasi formulasi.
• Kontakt tahlili (nazariya) — Lagrange ko‘paytuvchilari usulining formulasi.
• Kalit so‘zlar ma’lumotnomasi: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.