I-skip tungo sa nilalaman

Pagproseso ng mga heometrikong kundisyong hangganan

Sa pamamaraang Newton-Raphson, nilulutas sa bawat iterasyon ang linear na ekwasyong \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\), ngunit hindi pa nakapaloob dito ang mga heometrikong kundisyong hangganan (mga constraint sa paglipat). Ipinapakita sa kabanatang ito kung paano baguhin ang matris ng katigasan \(\boldsymbol{K}\) at residual vector \(\boldsymbol{R}\) para sa mga antas ng kalayaan na may constraint na \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\), upang maabot ng paglipat pagkatapos ng iterasyon ang itinakdang halaga. Ang mga multi-point constraint (MPC) at mga di-linear na constraint dahil sa contact ay pinoproseso sa ibang paraan; tingnan ang multi-point constraint at contact.

Patakaran ng pagpapanatili sa constraint sa paglipat bilang di-kilalang variable

Ang paglipat ng node na may heometrikong kundisyong hangganan ay hindi na di-kilalang variable kundi nakapirmi sa itinakdang halagang \(\bar{u}_i\). Maaaring ituring ang mga antas ng kalayaang ito bilang mga konstante at alisin sa linear na ekwasyong \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\); subalit sa FrontISTR, ipinapatupad ang constraint sa pamamagitan ng pagbabago sa \(\boldsymbol{K}\) at \(\boldsymbol{R}\) habang nananatili ang mga constrained na antas ng kalayaan sa correction vector na \(d\boldsymbol{u}\) tulad ng ibang mga antas ng kalayaan.

Sa paraang ito, hindi nagbabago ang dimensiyon ng coefficient matrix at pagkakasunod ng mga antas ng kalayaan depende sa pagkakaroon ng constraint, kaya hindi kailangang mag-alis ng mga variable at muling magsiksik ng mga nabakanteng row at column. Dahil masalimuot ang muling pagsasaayos na ito sa implementasyong nag-iimbak ng coefficient matrix bilang sparse matrix, ginagamit ng FrontISTR ang ikalawang paraan, kung saan naipapatupad ang constraint sa pamamagitan lamang ng pag-update sa coefficient matrix at kanang panig.

Target na halaga ng correction sa Newton-Raphson

Para sa constrained na antas ng kalayaan \(i\), ang correction na \(du_i\) na kinukuha sa iterasyong Newton-Raphson ay itinakdang maging

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{unang iterasyon}) \\ 0 & (\text{ikalawa at mga kasunod na iterasyon}) \end{cases} \]

Baguhin ang \(\boldsymbol{K}\) at \(\boldsymbol{R}\) upang magkaroon ng halagang ito ang correction. Dahil dito, sa unang iterasyon ay naaabot ng increment ng paglipat ang itinakdang halagang \(\bar{u}_i\); mula sa ikalawang iterasyon, nagiging \(0\) ang correction at napapanatili ang itinakdang halaga.

Pamamaraan ng pagbabago sa matris at residual vector

Nakakamit ang target na halaga sa nakaraang seksiyon sa pamamagitan ng sumusunod na dalawang pagbabago habang pinananatili ang anyo ng linear na ekwasyong \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\).

  1. Pagdiagonalize sa row \(i\): palitan ng \(1\) ang diagonal term na \(K_{ii}\), na coefficient ng \(du_i\), palitan ng \(0\) ang lahat ng iba pang coefficient na \(K_{ij}\ (j \not= i)\), at itakda ang kanang panig bilang \(R_i \to d\bar{u}_i\). Sa gayon, ang ekwasyon sa row \(i\) ay nagiging \(du_i = d\bar{u}_i\).
  2. Paglipat mula sa mga row na \(j(\not= i)\): para sa bawat row na \(j(\not= i)\), kung \(K_{ji} \not= 0\), ilipat sa kanang panig ang term na \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\). Ibig sabihin, ibawas ang \(K_{ji} d\bar{u}_i\) sa kanang panig at itakda sa \(0\) ang coefficient na \(K_{ji}\) ng \(du_i\).

Sa component form, magkatugma ang mga ekwasyon bago at pagkatapos ng pagbabago gaya ng sumusunod.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Kung tatawaging \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) ang binagong coefficient matrix at kanang panig, ayon sa pagkakasunod, ang linear na ekwasyong lulutasin sa huli ay

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Kung may higit sa isang constrained na antas ng kalayaan, ilapat nang sunod-sunod ang mga pagbabago 1 at 2 sa itaas para sa bawat constrained na antas ng kalayaan \(i\).

Saklaw ng pagproseso sa implementasyon ng sparse matrix

Sa implementasyon, nakaimbak ang coefficient matrix na \(\boldsymbol{K}\) bilang sparse matrix. Kaya ang pagproseso sa mga row na \(j(\not= i)\) sa pamamaraan 2 ng nakaraang seksiyon ay ginagawa lamang sa mga row na may nonzero na component sa column \(i\), ibig sabihin, sa mga antas ng kalayaan ng mga node na nakakonekta sa constrained na antas ng kalayaan \(i\) sa pamamagitan ng mga elemento. Para sa mga antas ng kalayaang walang koneksiyon, \(K_{ji} = 0\), kaya hindi nagbabago ang kanang panig sa paglilipat ng term. Dahil sa limitasyong ito, nakukumpleto ang pagproseso ng constraint gamit lamang ang mga lokal na operasyon kaugnay ng kabuuang bilang ng mga node.

Kaugnay na mga paksa

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status