Frequency response analysis¶

Formulation ng problema¶

Sinusuri ng frequency response analysis ang amplitude at phase ng steady-state response ng sistema sa frequency domain kapag harmonikong nagbabago sa oras ang external force. Dahil magkaiba ang balangkas ng equation of motion kapag walang damping at kapag may damping, unang kinukuha sa kabanatang ito ang mga natural mode mula sa undamped free vibration at ginagamit ang mga ito bilang modal basis upang palawakin ang damped harmonic response.

Undamped free vibration at mga natural mode¶

Kapag hindi isinasaalang-alang ang damping, ang equation of motion ay ang sumusunod.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Kapag pinalawak ayon sa bawat natural mode,

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Kapag ipinalit ito sa Eq. \(\eqref{eq:2.6.1}\), makukuha ang

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Nakukuha rito ang generalized eigenvalue problem. Ang mga numerical solution method nito (shifted inverse iteration at Lanczos method) ay tinatalakay sa Modal analysis. Inilalahad sa seksiyong ito ang mga katangian ng natural frequencies at natural modes na gagamitin sa kasunod na harmonic-response expansion.

Pagiging real ng natural frequencies¶

Maipapakitang real ang natural frequency gaya ng sumusunod. Ilagay ang \(\omega_j^2 = \lambda_j\); sa pagkuha ng complex conjugate ng Eq. \(\eqref{eq:2.6.3}\), makukuha ang Eq. \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Sa pag-multiply ng \(\overline{U}_J^T\),

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Mula sa Eq. \(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Dahil symmetric positive definite ang mass matrix, para sa nonzero eigenvector ay

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Kaya,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

at samakatuwid, real ang \(\omega_j^2 = \lambda_j\).

Orthogonality at normalization ng natural modes¶

Isaalang-alang ang dalawang magkaibang mode.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Mula rito,

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

at kapag magkaiba ang eigenvalues,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Samakatuwid, orthogonal ang magkakaibang natural mode kaugnay ng mass matrix. Para sa parehong mode, pinadadali ng normalization kaugnay ng mass matrix (Eq. \(\eqref{eq:2.6.12}\)) ang kasunod na pagproseso.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Harmonic response na may damping¶

Susunod, ipinapakita ang formulation ng frequency response analysis na may damping. Ang target na equation of motion ay nasa Eq. \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Ipinapalagay na Rayleigh type ang damping term at maaaring ipahayag gaya ng \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Gamit ang eigenvectors na nakuha sa modal analysis, maaaring palawakin ang displacement vector sa oras na t gaya ng Eq. \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Kapag ang external-force term ay nasa harmonic form na

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

tinutukoy ang \(b_{j}(t)\). Dahil ang equation of motion na \(\eqref{eq:2.6.13}\) ay nasa anyo ng forced vibration,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

natutupad ito. Ang real at imaginary na bahagi ng expansion coefficient na \(b_{j}(t)\) ay nasa anyo ng Eq. \(\eqref{eq:2.6.18}i\) at Eq. \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Kaya nakukuha ang mga expression sa itaas.

Mga kaugnay na paksa¶

Modal analysis — formulation ng pinagbabatayang eigenvalue problem
Dynamic analysis methods — dynamic analysis sa time domain
Mga uri ng pagsusuri — pangkalahatang-ideya ng frequency response analysis