Modal analysis - FrontISTR Multilingual Documentation

Generalized eigenvalue problem¶

Sa pagsusuri ng free vibration ng continuum, ginagawa ang spatial discretization at mino-modelo ito bilang multi-degree-of-freedom system na may concentrated masses, gaya ng nasa Figure 2.3.1. Para sa undamped free-vibration problem, ang governing equation (equation of motion) ay ang sumusunod.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Dito, ang $u$ ay generalized displacement vector, ang $M$ ay mass matrix, at ang $K$ ay stiffness matrix. Itakda ang natural angular frequency bilang $\omega$, ang $a$, $b$, $c$ bilang arbitrary constants, at ang $x$ bilang vector, at tukuyin ang function na

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Sa gayon, ang second derivative nito ay

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Kapag ipinalit ito sa Eq. $\eqref{eq:2.3.1}$, makukuha ang

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

samakatuwid,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

at makukuha.

Ibig sabihin, ang coefficient na tumutupad sa Eq. $\eqref{eq:2.3.5}$, $\lambda = \omega^2$ at ang vector na $x$, ang function na $u(t)$ ay solution ng Eq. $\eqref{eq:2.3.1}$.

Ang coefficient na $\lambda$ ay tinatawag na eigenvalue at ang vector na $x$ ay eigenvector; ang problemang paghahanap sa mga ito mula sa Eq. $\eqref{eq:2.3.1}$ ay tinatawag na generalized eigenvalue problem.

Halimbawa ng multi-degree-of-freedom system para sa undamped free vibration

Figure 2.3.1 Halimbawa ng multi-degree-of-freedom system para sa undamped free vibration

Mga katangian at palagay ng matrix¶

Para sa generalized eigenvalue problem na $K x = \lambda M x$ mula sa nakaraang seksiyon, ipinapalagay sa manual na ito ang sumusunod na mga katangian ng matrix. Ang mga palagay na ito ang batayan ng convergence at applicability ng shifted inverse iteration at Lanczos method na kasunod. Sa complex matrix, nauugnay ang transpose sa complex conjugate; sa real matrix, symmetric ang matrix. Kung sa matrix $K$ ang $ij$ component ay $k_{ij}$, at ang complex conjugate ng $k$ ay $\bar{k}$,

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

natutupad ang relasyong ito.

Sa manual na ito, ipinapalagay na symmetric positive definite ang mga matrix. Ang positive definite ay nangangahulugang positibo ang lahat ng eigenvalue; sa ibang salita, laging natutupad ang Eq. $\eqref{eq:2.3.7}$.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Shifted inverse iteration¶

Sa practical structural analysis gamit ang finite element method, kadalasan ay hindi kailangan ang lahat ng eigenvalue; sapat na ang ilang lower-order eigenvalues. Idinisenyo ang HEC-MW para sa malalaking problema, kaya malalaki at napaka-sparse ng mga matrix (maraming zero elements). Kaya mahalagang mahusay na makuha ang eigenvalues ng lower modes.

Kapag $\sigma$ ang lower bound ng eigenvalues, binabago ang Eq. $\eqref{eq:2.3.5}$ gaya ng sumusunod (mathematically equivalent).

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

May mga kapaki-pakinabang na katangian ito sa computation.

Nababaligtad ang order ng modes.
Napapalaki ang eigenvalues sa paligid ng $\rho$.

Sa aktuwal na computation, madalas unang nakukuha ang pinakamalaking eigenvalue. Kaya inilalapat ang pangunahing convergence calculation sa Eq. $\eqref{eq:2.3.5}$ sa halip na Eq. $\eqref{eq:2.3.8}$, upang unahing makuha ang eigenvalues sa paligid ng $\rho$. Ang paraang ito ay tinatawag na shifted inverse iteration.

Lanczos method¶

Dahilan ng pagpili (kumpara sa Jacobi method)¶

Sa mga classical method, kilala ang Jacobi method.

Epektibo ang paraang ito para sa maliit at dense na matrix. Gayunman, malalaki at sparse ang mga matrix na hinahawakan ng HEC-MW, kaya hindi ginagamit ang Jacobi method; sa halip ay ginagamit ang Lanczos iterative method.

Algorithm at mga katangian¶

Ang paraang ito, na iminungkahi ni C. Lanczos noong 1950s, ay isang algorithm para gawing tridiagonal ang matrix at may mga sumusunod na katangian.

Isa itong iterative convergence method na nagpapahintulot na manatiling sparse ang matrix sa computation.
Nakasentro ang algorithm sa matrix-vector products, kaya angkop ito sa parallelization.
Angkop ito sa geometric domain decomposition na kaugnay ng finite element mesh.
Maaaring gawing episyente ang computation sa paglilimita sa bilang ng eigenvalues o range ng modes na hahanapin.

Nagsisimula ang Lanczos method sa initial vector, sunud-sunod na bumubuo ng orthogonal vectors, at kumukuha ng basis ng subspace. Sinasabing mas mabilis ito kaysa subspace method, isa pang iterative method, at malawak itong ginagamit sa finite element programs. Gayunman, sensitibo ang paraang ito sa computer errors; maaaring mawala ang orthogonality ng vectors at masira ang computation sa kalagitnaan. Kaya mahalaga ang mga hakbang laban sa error.

Geometric na kahulugan (Krylov subspace)¶

Sa paggawa ng sumusunod na variable transformation sa Eq. $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

muling isinusulat ang problema bilang

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

at makukuha.

Sa angkop na vector na $q_0$, naglalapat ng linear transformation sa pamamagitan ng matrix $A$ (tingnan ang Figure 2.3.2).

$Linear transformation gamit ang matrix $A$ sa $q_0$$

Figure 2.3.2 Linear transformation gamit ang matrix $A$ sa $q_0$

Ino-orthogonalize ang transformed vector sa space na binubuo nito kasama ang original vector. Ibig sabihin, isinasagawa ang tinatawag na Gram-Schmidt orthogonalization gaya ng nasa Figure 2.3.2. Itinakda ang resultang vector bilang $r_1$, ni-normalize ito (haba 1), at nakukuha ang $q_1$ (Figure 2.3.3). Sa parehong algorithm, mula sa $q_1$ ay nakukuha ang $q_2$. Sa puntong ito, orthogonal ang $q_2$ sa parehong $q_1$ at $q_0$ (Figure 2.3.4). Sa pagpapatuloy ng parehong computation, maaaring makuha ang mutually orthogonal vectors hanggang sa maximum order ng matrix.

$Vector na orthogonal sa $q_0$, ang $q_1$$

Figure 2.3.3 Vector na orthogonal sa $q_0$, ang $q_1$

$Vector na orthogonal sa $q_1$ at $q_0$, ang $q_2$$

Figure 2.3.4 Vector na orthogonal sa $q_1$ at $q_0$, ang $q_2$

Sa partikular, ang Lanczos algorithm ay Gram-Schmidt orthogonalization para sa vector sequence na $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

o, sa ibang salita, $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

na iyon. Ang vector sequence na ito ay tinatawag na Krylov sequence, at ang space na binubuo nito ay Krylov subspace. Kapag ginawa ang Gram-Schmidt orthogonalization sa space na ito, maaaring makuha ang susunod na vector gamit ang dalawang pinakahuling vector. Ito ang tinatawag na Lanczos principle.

Tridiagonalization¶

Sa iterasyon sa itaas, ang ika-i+1 na computation ay maaaring ipahayag bilang

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

kung saan

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

at makukuha. Sa matrix notation,

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

kung saan

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Samakatuwid, nakukuha ang eigenvalues sa pamamagitan ng paglutas ng eigenvalue problem para sa tridiagonal matrix na nakuha sa Eq. $\eqref{eq:2.3.13}$.

Mga kaugnay na paksa¶

Frequency response analysis — frequency response gamit ang mga resulta ng modal analysis
Mga uri ng pagsusuri — pangkalahatang-ideya ng modal analysis