Listahan ng mga Simbolo ng Pisikal na Dami¶

Inililista sa pahinang ito ang mga simbolo ng mga pisikal na dami na ginagamit sa manwal ng teorya ng FrontISTR. Para sa mga tuntunin ng notasyon (makapal na notasyon para sa mga bektor at tensor, Einstein summation convention, at Voigt notation), tingnan ang Notasyon ng Tensor at mga Batayang Matematika.

Mga Konpigurasyon at Sistema ng Koordinado¶

Simbolo	Paglalarawan
\(\boldsymbol{X}\)	Bektor ng posisyon ng isang materyal na punto sa konpigurasyong sanggunian (inisyal) (mga materyal na koordinado)
\(\boldsymbol{x}\)	Bektor ng posisyon ng isang materyal na punto sa kasalukuyang konpigurasyon (mga koordinadong pang-espasyo)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\)	Pagmamapa ng galaw: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\)	Rehiyong sinasakop ng katawan sa konpigurasyong sanggunian
\(\Omega\)	Rehiyong sinasakop ng katawan sa kasalukuyang konpigurasyon
\(\Gamma_0\)	Hangganan ng \(\Omega_0\)
\(\Gamma\)	Hangganan ng \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\)	Heometrikong (displacement) na hangganan: hangganan sa kasalukuyan/sangguniang konpigurasyon kung saan itinatalaga ang \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\)	Mekanikal na hangganan: hangganan sa kasalukuyan/sangguniang konpigurasyon kung saan itinatalaga ang \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (o \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\)	Panlabas na unit normal vector sa isang ibabaw sa kasalukuyang konpigurasyon
\(\boldsymbol{N}\)	Panlabas na unit normal vector sa isang ibabaw sa konpigurasyong sanggunian
\(t\)	Oras

Kumbensiyon: Ang mga pisikal na dami sa konpigurasyong sanggunian ay tinutukoy sa malalaking titik o subscript na \(0\), samantalang ang mga dami sa kasalukuyang konpigurasyon ay tinutukoy sa maliliit na titik.

Oras at mga Increment (Incremental na Pagsusuri)¶

Simbolo	Paglalarawan
\(\Delta t\)	Increment ng oras: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\)	Pisikal na dami sa oras na \(t\) (kaliwang superscript). Halimbawa: ang \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) ay Cauchy stress sa oras na \(t\)
\(^{t}\Omega\)	Rehiyon ng kasalukuyang konpigurasyon sa oras na \(t\)
\(^{t}\Gamma\)	Hangganan ng kasalukuyang konpigurasyon sa oras na \(t\)

Kumbensiyon: Sa incremental na pagsusuri, itinuturing na alam ang estado hanggang oras na \(t\), at nilulutas bilang hindi alam ang estado sa oras na \(t + \Delta t\). Inaalis ang kaliwang superscript kapag hindi kailangang tahasang tukuyin ang oras. Ang pormulasyong gumagamit sa konpigurasyong sanggunian na \(\Omega_0\) bilang sanggunian ay tinatawag na pormulasyong Total Lagrange, samantalang ang gumagamit sa kasalukuyang konpigurasyong \(^{t}\Omega\) sa simula ng increment bilang sanggunian ay tinatawag na pormulasyong Updated Lagrange.

Paglipat, Bilis, Akselerasyon, at Puwersang Pang-katawan¶

Simbolo	Paglalarawan
\(\boldsymbol{u}\)	Bektor ng paglipat: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\)	Paglipat na itinatalaga sa heometrikong hangganan \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\)	Birtuwal na paglipat (punsiyong pagsubok): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) sa \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\)	Bektor ng bilis: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\)	Bektor ng akselerasyon: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\)	Body force (bawat yunit ng masa)
\(\boldsymbol{t}\)	Bektor ng traction (bawat yunit ng lawak): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\)	Traction na itinatalaga sa mekanikal na hangganan \(\Gamma_t\) (Neumann data)

Mga Operator na Diferensiyal¶

Simbolo	Paglalarawan
\(\dot{(\cdot)}\)	Materyal na deribatibo sa oras (deribatibo sa oras na sumusunod sa parehong materyal na punto): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\)	Gradient ng konpigurasyong sanggunian (gradient kaugnay ng mga materyal na koordinadong \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\)	Gradient ng kasalukuyang konpigurasyon (gradient kaugnay ng mga koordinadong pang-espasyo na \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\)	Operator ng simetrikong gradient: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Tala: Magkaugnay ang \(\nabla_X\) at \(\nabla_x\) sa pamamagitan ng \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Ginagamit ang gradient na walang subscript, \(\nabla\), kapag malinaw sa konteksto ang konpigurasyon o kapag nawawala ang pagkakaiba, gaya sa mga problemang may maliit na deformation.

Mga Tensor ng Deformation¶

Simbolo	Paglalarawan
\(\boldsymbol{F}\)	Tensor ng deformation gradient: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\)	Ratio ng bolyum: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\)	Kanang Cauchy-Green deformation tensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\)	Kaliwang Cauchy-Green deformation tensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\)	Tensor ng gradient ng bilis: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\)	Tensor ng rate of deformation (simetrikong bahagi ng \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\)	Spin tensor (antisymetrikong bahagi ng \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Mga Strain Tensor¶

Simbolo	Paglalarawan
\(\boldsymbol{E}\)	Green-Lagrange strain tensor (konpigurasyong sanggunian): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\)	Almansi strain tensor (kasalukuyang konpigurasyon): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\)	Linear na bahagi ng Almansi strain tensor (simetrikong displacement gradient sa kasalukuyang konpigurasyon): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\)	Infinitesimal strain tensor (linear na approximation): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Tala: Pangunahing ginagamit ang \(\boldsymbol{E}\) sa pormulasyong Total Lagrange, samantalang pangunahing ginagamit ang \(\boldsymbol{D}\) sa pormulasyong Updated Lagrange.

Mga Stress Tensor¶

Simbolo	Paglalarawan
\(\boldsymbol{\sigma}\)	Cauchy stress tensor (true stress, kasalukuyang konpigurasyon): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\)	Unang Piola-Kirchhoff stress tensor (nominal stress): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\)	Ikalawang Piola-Kirchhoff stress tensor (konpigurasyong sanggunian, simetriko): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Mga ugnayan ng conversion sa pagitan ng mga stress tensor:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Kumbensiyon: Ginagamit ng pormulasyong Total Lagrange ang pares na \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), samantalang ginagamit ng pormulasyong Updated Lagrange ang pares na \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Densidad at Masa¶

Simbolo	Paglalarawan
\(\rho\)	Densidad ng masa sa kasalukuyang konpigurasyon
\(\rho_0\)	Densidad ng masa sa konpigurasyong sanggunian

Konserbasyon ng masa: \(\rho_0 = J\rho\).

Mga Constant ng Materyal (Linear na Elastisidad)¶

Simbolo	Paglalarawan
\(E\)	Young's modulus
\(\nu\)	Poisson ratio
\(\lambda\)	Unang Lamé constant: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\)	Ikalawang Lamé constant (shear modulus): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\)	Tensor ng elastisidad (ikaapat na order): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), mga component na \(C_{ijkl}\)
\(D\) (o \(\hat{\tilde{C}}\))	Matriks ng materyal (Voigt notation, \(6\times6\) sa 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Mga component ng elasticity tensor para sa isotropic linear elastic na materyal:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Mga Hyperelastic na Materyal¶

Simbolo	Paglalarawan
\(W(\boldsymbol{C})\)	Elastikong potensiyal na punsiyon (punsiyon ng densidad ng enerhiya ng strain)
\(I_1, I_2, I_3\)	Mga pangunahing invariant ng kanang Cauchy-Green tensor na \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\)	Mga reduced invariant ng \(\boldsymbol{C}\) (nakahiwalay ang pagbabago ng bolyum)
\(C_1, C_2\)	Mga constant ng materyal ng modelong Mooney-Rivlin
\(D\)	Constant ng materyal na kaugnay ng volumetric elasticity

Mga Elastoplastic na Materyal¶

Simbolo	Paglalarawan
\(\boldsymbol{D}^e\)	Elastic na component ng rate-of-deformation tensor
\(\boldsymbol{D}^p\)	Plastic na component ng rate-of-deformation tensor
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\)	Punsiyon ng pamantayan ng yield
\(\kappa\)	Panloob na variable na kumakatawan sa plastic state (isotropic hardening variable)
\(\lambda^p\)	Plastic multiplier (multiplier ng plastic strain rate): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\)	Plastic potential (\(\Theta = F\) para sa associated flow rule)
\(\bar{\sigma}\)	Katumbas na stress (hal., von Mises stress)
\(\bar{\varepsilon}^p\)	Katumbas na plastic strain
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\)	Punsiyon ng isotropikong hardening

Kondisyon ng complementarity: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Paraan ng Finite Element¶

Simbolo	Paglalarawan
\(\Omega^h, \Omega_0^h\)	Mga rehiyon sa kasalukuyan at sangguniang konpigurasyon na inaproksima ng finite-element discretization: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\)	Rehiyon ng elemento sa kasalukuyan at sangguniang konpigurasyon
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\)	Bahagi ng hangganan ng elemento na kabilang sa mekanikal na hangganan
\(\boldsymbol{r}\)	Likas na mga koordinado (lokal na koordinado ng elemento)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\)	Punto sa likas na mga koordinado na tumutugma sa node \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)	Punsiyon ng hugis na tumutugma sa node \(\alpha\) ng elementong \(e\)
\(n_e\)	Bilang ng mga node na bumubuo sa isang elemento
\(n_g\)	Kabuuang bilang ng mga global node
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\)	Mga koordinado at displacement ng node \(\alpha\) ng elemento
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\)	Mga bektor ng koordinado at displacement ng mga node ng elemento: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), atbp.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\)	Mga global na bektor ng koordinado at displacement ng node (inaayos ayon sa numero ng node, pagkatapos ay ayon sa antas ng kalayaan)
\(\boldsymbol{B}\)	Matriks ng ugnayang strain-displacement (B-matrix)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\)	Matriks ng punsiyon ng hugis: ang \(\boldsymbol{N}_\alpha\) ay \(d \times d\) na bloke na may punsiyon ng hugis na \(N_\alpha^e\) para sa node \(\alpha\) sa dayagonal nito, at \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\)	Matriks ng katigasan ng elemento
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\)	Mga integrand ng matriks ng katigasan ng elemento (ipinahayag sa sanggunian at kasalukuyang konpigurasyon): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (pormulasyong TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (pormulasyong UL)	Bektor ng panloob na puwersa ng elemento
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\)	Panlabas na nodal force na kumikilos sa node \(\alpha\) ng elemento, at bektor ng panlabas na nodal force ng elemento: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)	Global na bektor ng panloob na puwersa at global na bektor ng panlabas na puwersa: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); gayundin para sa \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\)	Nodal na panloob na puwersa at nodal na panlabas na puwersa sa global node \(i_g\) (mga nodal block ng \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\)	Pandaigdigang matriks ng tangent stiffness: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matriks na binubuo sa paglalagay ng \(3\times 3\) block na \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) sa row \(i_g\), column \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\)	Bektor ng residual sa Newton-Raphson iteration: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\)	Koreksiyon sa Newton-Raphson iteration (nakukuha sa paglutas ng linear equation na \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) sa iteration \(i\))
\(i_g\)	Numero ng global node (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\)	Numero ng global node na tumutugma sa lokal na node number \(\alpha\) ng elementong \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\)	Set ng mga pares na \((e, \alpha)\) na tumutugma sa global node number \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Ginagamit sa mga operasyon ng assembly
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\)	Set ng mga tuple na \((e, \alpha, \beta)\) na tumutugma sa pares ng global node number na \((i_g, i_h)\); ginagamit para sa assembly ng stiffness matrix
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\)	Mga indeks para sa mga node na bumubuo sa isang elemento
\(i, j, k, l, \ldots\)	Mga indeks para sa mga antas ng kalayaan (\(1, 2, 3\) sa 3D)

Mga High-performance na Elemento at Structural Element¶

Simbolo	Paglalarawan
\(\bar{\boldsymbol{B}}\)	Matriks ng ugnayang strain-displacement na binago ang volumetric part sa pamamaraang B-bar (pinapalitan ang volumetric component ng B-matrix na sinusuri sa gitna ng elemento)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\)	Deformation gradient na binago ang volumetric part sa pamamaraang F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\)	Ratio ng bolyum ng deformation gradient na sinusuri sa gitna ng elemento \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\)	Bektor ng panloob na antas ng kalayaan para sa incompatible-mode element (mga coefficient ng karagdagang displacement mode na hindi nagtatakda ng continuity sa hangganan ng elemento)
\(M_k(\boldsymbol{r})\)	Mga punsiyon ng hugis para sa incompatible mode: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\)	Kapal ng shell element
\(A\)	Lawak ng cross section ng beam element
\(I\)	Ikalawang moment ng area ng cross section ng beam element
\(G\)	Modulus ng shear: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Mga Kaugnay na Paksa¶

Notasyon ng Tensor at mga Batayang Matematika — Mga tuntunin para sa makapal na notasyon, Einstein summation convention, at Voigt notation
Galaw, Deformation, at Strain — Mga depinisyon ng mga konpigurasyon, deformation gradient, at strain
Galaw, Deformation, at Strain — Pagkuha ng mga governing equation
Linear na Elastisidad — Mga tahasang component ng matriks ng materyal na \(D\)