Tensor notation at mga batayang matematika¶

Pinagsasama-sama ng kabanatang ito ang mga convention sa tensor notation, index notation, at Voigt notation na ginagamit sa mga susunod na kabanata ng FrontISTR theory manual. Mga purong tuntunin ng notation lamang na hindi nakadepende sa kahulugan ng physical quantities ang tinatalakay rito. Ang mga symbol convention na nakadepende sa configuration (reference/current) na kaugnay ng continuum motion—gaya ng paggamit ng uppercase/lowercase at pagkakaiba ng material at spatial derivative—ay nasa Motion, deformation, at strain, kung saan ipinapakilala ang konsepto ng configuration.

Tensor notation¶

Bold notation para sa mga vector at tensor¶

Bilang tuntunin sa typeface, ang mga scalar at component ng vector/tensor ay isinusulat sa normal na typeface (hal. \(\rho\), \(x_i\)), samantalang ang vector/tensor quantity mismo ay isinusulat nang bold (hal. \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Einstein summation convention¶

Maliban kung may ibang nakasaad, ginagamit ang Einstein summation convention: kapag dalawang beses lumitaw ang parehong index sa iisang term, nagsu-sum sa index na iyon. Halimbawa,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

at para sa mga tensor \(\boldsymbol{A}\) at \(\boldsymbol{B}\), ang product na \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) ay may \(i,j\) component na

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Para sa index convention, maliban kung may ibang nakasaad, ang \(i, j, k, l, \ldots\) ay mga index na nauugnay sa degrees of freedom (sa 3D, \(1, 2, 3\)), at ang maliliit na titik Griyego na \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) ay mga index ng mga node na bumubuo sa element.

Inner product, transpose, at tensor product¶

Ang transpose ng tensor na \(\boldsymbol{A}\) ay tinutukoy bilang \(\boldsymbol{A}^T\). Ang inner product (double contraction) ng second-order tensors na \(\boldsymbol{A}\) at \(\boldsymbol{B}\) ay isinusulat bilang

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Ang inner product ng vectors na \(\boldsymbol{a}\) at \(\boldsymbol{b}\) ay \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), at ang tensor product ay \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt notation¶

Ang stress at strain ay symmetric second-order tensors kaugnay ng degrees of freedom, at ang coefficient na kumakatawan sa linear na relasyon ng mga ito ay fourth-order tensor. Hindi praktikal na direktang hawakan ito sa program mula sa pananaw ng computation at coding (multidimensional arrays at malalalim na nested loops); kaya sa karaniwang finite element programs, gamit ang symmetry, kino-compress ang stress at strain bilang column vectors, at ang fourth-order elasticity tensor bilang two-dimensional matrix. Ito ang tinatawag na Voigt notation.

Mula rito, ang matrix/vector representation ng tensor quantity na \(\boldsymbol{A}\) ay isusulat bilang \(\hat{A}\) upang maiba sa orihinal na tensor.

Vector notation ng stress at strain¶

Para sa symmetric stress tensor na \(\boldsymbol{\sigma}\) at strain tensor na \(\boldsymbol{\varepsilon}\), sa dalawang dimensiyon ay

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

at sa tatlong dimensiyon ay

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

ginagamot ang mga ito bilang column vectors gaya ng nasa itaas. Ang parehong tuntunin ay inilalapat sa derived quantities gaya ng variations at differentials. Tandaan na may factor na 2 ang shear components sa strain side (wala sa stress side). Dahil sa asymmetry na ito, ang tensor inner product ay maisusulat bilang vector inner product

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

sa isang maikling anyo. Sa implementation, madaling magkamali sa factor na 2 ng shear strain components, kaya kailangang laging tandaan ang convention na “wala sa stress / mayroon sa strain”. Eksaktong parehong Voigt convention ang inilalapat sa quantities sa reference configuration (second Piola-Kirchhoff stress \(\boldsymbol{S}\) at Green-Lagrange strain \(\boldsymbol{E}\)).

Matrix notation ng fourth-order tensor¶

Para sa linear na relasyon ng stress at strain na \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (sa components, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), gamit ang symmetry ng \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ay maaaring isulat muli bilang

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Sa tatlong dimensiyon, kapag inayos ang \(\tilde{C}\) bilang 6×6 material matrix na \(\hat{\tilde{C}}\), ang orihinal na tensor relation ay

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Mula rito sa manual na ito, maliban kung may ibang nakasaad, ang material matrix ay tinutukoy bilang \(D\) (o \(\hat{C}\)). Para sa mga tiyak na component ng isotropic linear elasticity, tingnan ang Linear elasticity.

Mga convention ng differential operator¶

Symmetric gradient operator¶

Para sa vector field na \(\boldsymbol{u}\), ang symmetric gradient operator na \(\nabla_S\) ay tinutukoy bilang

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Sa component form, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Ang small-deformation strain na \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) ay maikling naipapahayag gamit ang operator na ito. Ang pagpili ng configuration (reference/current) kung saan kinukuha ang gradient sa finite deformation ay tinatalakay sa Motion, deformation, at strain.

Material time derivative¶

Ang material time derivative ng isang quantity na \(A\) (time derivative habang sinusundan ang parehong material point) ay tinutukoy sa pamamagitan ng overdot bilang \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Sinusunod ng velocity at acceleration ang convention na ito.

Mga kaugnay na paksa¶

Motion, deformation, at strain — konsepto ng reference/current configuration at mga symbol convention na nakadepende sa configuration (uppercase/lowercase, material/spatial derivative)
Stress at conservation laws — derivation ng governing equations gamit ang notation na ito
Prinsipyo ng virtual work — weak form at paggamit ng Voigt notation
Linear elasticity — tiyak na anyo ng material matrix na \(D\)
Shape functions at finite element approximation — pagkalkula ng element stiffness gamit ang Voigt notation