Balangkas ng incremental analysis¶
Pangangailangan para sa incremental analysis¶
Gaya ng nabanggit sa itaas, sa pagsusuri ng mga problemang may maliit na deformation, maaaring magsagawa ng finite element analysis gamit ang prinsipyo ng virtual work, na katumbas ng mga pangunahing equation gaya ng equilibrium equations, at sa pagdi-discretize nito sa pamamagitan ng finite elements. Gayundin, sa mga problemang finite deformation na tumatalakay sa malalaking deformation ng mga istruktura, ang prinsipyo ng virtual work pa rin ang pangunahing ginagamit.
Gayunman, sa mga problemang finite deformation, nagiging nonlinear ang equation ng prinsipyo ng virtual work kaugnay ng displacement kahit ipagpalagay na linear ang material. Karaniwang ginagamit ang paulit-ulit na pagkalkula sa pamamagitan ng iterative method upang malutas ang mga nonlinear equation.
Sa mga iterative calculation na ito, ginagamit ang incremental analysis: ginagawa ang pagkalkula nang paisa-isa para sa maliliit na load increment at iniipon ang mga ito hanggang maabot ang panghuling deformed state. Kapag ipinapalagay ang small-deformation problem, walang partikular na pagkakaiba sa configuration na ginagamit upang tukuyin ang strain at stress bago at pagkatapos ng deformation. Ibig sabihin, sa small-deformation assumption, hindi mahalaga kung ang configuration na ginagamit sa paglalarawan ng mga pangunahing equation ay bago o pagkatapos ng deformation.
Kapag nagsasagawa ng incremental analysis para sa finite-deformation problem, nag-iiba ang formulation depende kung ang initial configuration o ang configuration sa simula ng increment ang gagamiting reference configuration. Ang una ay tinatawag na total Lagrange method at ang ikalawa ay updated Lagrange method. Para sa mga detalye, tingnan ang mga sanggunian sa dulo ng kabanata at kaugnay na materyal.
Panimulang equation: prinsipyo ng virtual work sa oras na \(t'\)¶
Isaalang-alang ang incremental analysis kung saan alam ang estado hanggang oras na \(t\) at hindi alam ang estado sa oras na \(t' = t + \Delta t\) (tingnan ang Figure 2.2.1). Ang equilibrium equations, boundary conditions, at prinsipyo ng virtual work sa oras na \(t'\) (nakasulat sa current configuration gamit ang Cauchy stress \(^{t'}\sigma\) at ang linear na bahagi ng Almansi strain \(^{t'} A_{(L)}\)) ay gaya ng ibinigay sa Prinsipyo ng virtual work.
Figure 2.2.1 Konsepto ng incremental analysis
Gayunman, dahil nakasulat ang panimulang equation na ito sa (hindi alam na) configuration sa oras na \(t'\), sa aktuwal na solution procedure ay muling pinipili bilang reference configuration ang initial configuration sa oras na \(0\), \(V\), o ang current configuration sa oras na \(t\), \(^{t'} v\), saka isinusulat muli sa incremental form bago lutasin:
- Total Lagrange method — ginagamit ang initial configuration \(V\) bilang reference. Ginagamit ang second PK stress \(\boldsymbol{S}\) at Green-Lagrange strain \(\boldsymbol{E}\).
- Updated Lagrange method — ginagamit ang current configuration \(^{t}v\) sa simula ng increment bilang reference. Ginagamit ang Cauchy stress \(\boldsymbol{\sigma}\) at ang linear na bahagi ng Almansi strain \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).
Para sa spatial discretization ng dalawang formulation (B matrix at internal-force vector), tingnan ang Discretization ng internal virtual work; para sa linearization at pagbuo ng tangent stiffness, tingnan ang Tangent stiffness matrix.
Mga kaugnay na paksa¶
- Prinsipyo ng virtual work — pangunahing panimulang equation (weak form sa current at initial configuration)
- Discretization ng internal virtual work — B matrix at internal-force vector para sa TL/UL
- Tangent stiffness matrix — \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\) mula sa linearization
- Newton-Raphson method — iterative algorithm