Stress at mga Batas ng Konserbasyon¶

Inaayos ng kabanatang ito ang mga depinisyon at ugnayan ng mga stress tensor, kasama ang mga equilibrium equation at symmetry ng stress na nagmumula sa konserbasyon ng masa, linear momentum, at angular momentum. Ang tatlong stress tensor—Cauchy stress \(\boldsymbol{\sigma}\), first Piola-Kirchhoff stress \(\boldsymbol{P}\), at second Piola-Kirchhoff stress \(\boldsymbol{S}\)—ay ipinakikilala ayon sa configuration na ginagamit para sa reference surface at force vector. Tingnan ang Motion, Deformation, at Strain para sa mga depinisyon ng configuration, motion, at deformation gradient, at Listahan ng mga Simbolo ng Pisikal na Quantity para sa listahan ng simbolo.

Cauchy Stress na Tensor¶

Ipagpalagay na ang \(d\boldsymbol{f}\) ay puwersang kumikilos sa isang infinitesimal surface sa puntong \(\boldsymbol{x}\) sa kasalukuyang configuration (area \(d\Gamma\), outward unit normal \(\boldsymbol{n}\)), at tukuyin ang traction vector \(\boldsymbol{t}\) bilang puwersa kada unit area sa pamamagitan ng \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). Ang \(\boldsymbol{t}\) ay nakadepende kapwa sa posisyon \(\boldsymbol{x}\) at normal na \(\boldsymbol{n}\). Sa paglalapat ng konserbasyon ng momentum sa infinitesimal tetrahedron, lumalabas na linear ang \(\boldsymbol{t}\) kaugnay ng \(\boldsymbol{n}\), kaya may second-order tensor na \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) na

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

totoo para sa anumang \(\boldsymbol{n}\) (Cauchy stress theorem). Ang tensor na \(\boldsymbol{\sigma}\) ay tinatawag na Cauchy stress tensor, at tinatawag ding true stress dahil kumakatawan ito sa puwersa kada unit area batay sa geometry ng kasalukuyang configuration. Ang component na \(\sigma_{ij}\) ay kumakatawan sa \(x_i\) component ng puwersa kada unit area na kumikilos sa infinitesimal surface na normal sa coordinate axis na \(x_j\) sa kasalukuyang configuration.

Gaya ng ipinapakita sa ibaba mula sa konserbasyon ng angular momentum, symmetric tensor ang Cauchy stress:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Kaya sa tatlong dimensiyon ay mayroon itong anim na independent component (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Ang pag-vectorize ng stress sa Voigt notation ay nakabatay sa symmetry na ito (tingnan ang Tensor Notation at mga Matematikal na Batayan). Ginagamit ang Cauchy stress para sa stress output sa geometrically nonlinear analysis ng FrontISTR gamit ang Updated Lagrange method at sa small-deformation analysis.

First at Second Piola-Kirchhoff Stress¶

Sa finite deformation, madalas na maginhawang ipahayag ang stress batay sa mga surface at vector sa reference configuration, kaya ipinakikilala ang dalawang Piola-Kirchhoff stress tensor. Itakda ang area ng infinitesimal surface sa reference configuration bilang \(d\Gamma_0\) at ang outward unit normal nito bilang \(\boldsymbol{N}\).

Ang first Piola-Kirchhoff stress (first PK stress, nominal stress) \(\boldsymbol{P}\) ay tinutukoy bilang stress tensor kapag ang puwersang \(d\boldsymbol{f}\) sa kasalukuyang configuration ay inilalapat sa infinitesimal surface sa reference configuration:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Mula sa Nanson formula na \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) at Cauchy stress theorem, nakukuha ang ugnayan sa Cauchy stress:

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Ang first PK stress ay karaniwang hindi symmetric.

Ang second Piola-Kirchhoff stress (second PK stress) \(\boldsymbol{S}\) ay tinutukoy bilang stress tensor na nakukuha sa pagbabalik ng puwersang \(d\boldsymbol{f}\) mula sa kasalukuyang configuration patungo sa reference configuration gamit ang \(\boldsymbol{F}^{-1}\) at paglalapat nito sa infinitesimal surface sa reference configuration:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Kapwa ang force vector at ang surface na pinakikilos nito ay ipinahahayag sa mga quantity ng reference configuration, kaya invariant ito sa rigid-body rotation at symmetric. Ang ugnayan nito sa first PK stress at ang transformation mula sa Cauchy stress ay

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Ang second PK stress ay hinango mula sa hyperelastic strain-energy function na \(W(\boldsymbol{C})\) bilang \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) at, sa Total Lagrange method, ginagamit kasama ng Green-Lagrange strain na \(\boldsymbol{E}\) bilang work-conjugate pair na \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Ibinubuod sa sumusunod na talahanayan ang reference configuration at symmetry. Sa small-deformation limit (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), nagiging magkapareho ang tatlong stress.

Stress tensor	Reference surface	Force vector	Symmetry	Gamit
Cauchy stress \(\boldsymbol{\sigma}\)	Kasalukuyang configuration \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Kasalukuyang configuration \(d\boldsymbol{f}\)	Symmetric	Updated Lagrange method / small-deformation analysis
First PK stress \(\boldsymbol{P}\)	Reference configuration \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Kasalukuyang configuration \(d\boldsymbol{f}\)	Karaniwang hindi symmetric	Equilibrium equation sa reference configuration
Second PK stress \(\boldsymbol{S}\)	Reference configuration \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Reference configuration \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Symmetric	Total Lagrange na paraan / hyperelasticity

Konserbasyon ng Masa at Momentum at mga Equilibrium Equation¶

Ipagpalagay na ang \(\rho\) ay mass density sa kasalukuyang configuration at ang \(\rho_0\) ay mass density sa reference configuration. Ang batas ng konserbasyon ng masa na \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), kasama ang volume-element transformation na \(dv = J\, dV\), ay humahantong sa lokal na anyo

\[ \rho_0 = J \rho \]

Ito ang lokal na relasyon ng konserbasyon ng masa.

Ipagpalagay na ang \(\boldsymbol{g}\) ay body force kada unit mass at ang \(\boldsymbol{a}\) ay acceleration. Sa paglalapat ng Cauchy stress theorem at Gauss divergence theorem sa konserbasyon ng linear momentum (unang batas ng motion ni Euler), nakukuha ang lokal na equilibrium equation (equation of motion) sa kasalukuyang configuration:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Sa muling pagsulat ng integral sa reference configuration gamit ang Nanson formula at \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\), nakukuha ang lokal na anyo sa reference configuration:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Magkatumbas ang dalawang anyo sa pamamagitan ng stress-transformation rule at \(\rho_0 = J\rho\). Kapag hindi isinama ang inertia term, nakukuha ang

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

na siyang static equilibrium equation at panimulang equation ng static analysis ng FrontISTR (linear at nonlinear).

Konserbasyon ng Angular Momentum at Symmetry ng Stress¶

Sa pagsasama ng konserbasyon ng angular momentum (ikalawang batas ng motion ni Euler) at equilibrium equation mula sa konserbasyon ng linear momentum, nakukuha ang symmetry ng Cauchy stress tensor:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Kaya mayroon itong anim na independent component sa tatlong dimensiyon. Sa pag-transpose ng magkabilang panig ng transformation na \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) at paggamit ng nonsingularity ng \(\boldsymbol{F}\), makikitang symmetric din ang second PK stress:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

at samakatuwid ay mayroon din itong anim na independent component. Sa kabilang banda, ang first PK stress na \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) ay karaniwang hindi symmetric; ang relasyon lamang na \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) ang totoo (ibig sabihin, symmetric ang \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\)), at mayroon itong siyam na independent component.

Ang mga symmetry na ito ang batayan sa pagpapahayag ng stress bilang six-component vector sa Voigt notation. Tingnan ang Tensor Notation at mga Matematikal na Batayan at Linear Elasticity para sa mga convention ng Voigt notation at pagbuo ng material matrix.