Paggalaw, deformasyon, at strain¶

Reference configuration at kasalukuyang configuration¶

Kahulugan ng mga configuration¶

Upang matukoy kung aling hugis sa panahon ang ginagamit na batayan sa paglalarawan ng mga pisikal na dami, gumagamit ang manwal na ito ng dalawang uri ng configuration.

Reference configuration: ang hugis bago ma-deform sa simula ng analisis (oras \(0\)), na tinatawag ding initial configuration. Ang isang punto sa reference configuration ay kinakatawan ng material coordinate \(\boldsymbol{X}\), na may volume na \(V\) at surface na \(S\).
Kasalukuyang configuration (current configuration): ang hugis pagkatapos ng deformasyon sa oras \(t\). Ang isang punto sa kasalukuyang configuration ay kinakatawan ng spatial coordinate \(\boldsymbol{x}\), na may volume na \(v\) at surface na \(s\).

Ang paggalaw ay inilalarawan bilang mapping sa pagitan ng dalawang configuration, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), at ang paglipat ay tinutukoy bilang \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Kombensiyon sa simbolo ayon sa configuration (malaki/maliit na titik)¶

Ang laki ng titik ng simbolo ang nagpapakita kung saang configuration kabilang ang isang pisikal na dami.

Ang mga dami na kabilang sa reference configuration ay isinusulat sa malalaking titik (halimbawa: \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Ang mga dami na kabilang sa kasalukuyang configuration ay isinusulat sa maliliit na titik (halimbawa: \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Para sa mga dami na nag-uugnay sa dalawang configuration, gaya ng unang Piola-Kirchhoff stress \(\boldsymbol{P}\), ginagamit ang nakaugaliang simbolo at nililinaw ito sa teksto kung kinakailangan.
Sa teorya ng maliit na deformasyon, nawawala ang pagkakaiba ng dalawang configuration, kaya maliliit na titik lamang (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) ang ginagamit.

Gradient ng reference configuration at kasalukuyang configuration¶

Nag-iiba ang simbolo at kahulugan depende sa configuration kung saan kinukuha ang spatial derivative.

Gradient ng reference configuration \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradient kaugnay ng material coordinate. Halimbawa: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradient ng kasalukuyang configuration \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradient kaugnay ng spatial coordinate. Halimbawa: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Magkaugnay ang mga ito sa pamamagitan ng \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Para sa kombensiyon ng time derivative (material time derivative \(\dot{(\cdot)}\)), tingnan ang Notasyon ng tensor at mga batayang matematika.

Paglalarawan ng paggalaw¶

Mapping ng paggalaw at material/spatial na paglalarawan¶

Kung ituturing ang continuum bilang hanay ng mga material point na nilalagyan ng label ayon sa posisyong \(\boldsymbol{X}\) sa oras \(0\), inilalarawan ang paggalaw sa pamamagitan ng mapping na \(\phi\), na nag-uugnay sa material point \(\boldsymbol{X}\) sa posisyon nitong \(\boldsymbol{x}\) sa oras \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Kapag ginagamit ang initial configuration bilang reference configuration, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Dalawang uri ng paglalarawan ang nakikilala ayon sa pagpili ng independent variable.

Material na paglalarawan (Lagrange description): inilalarawan ang mga pisikal na dami bilang function ng \((\boldsymbol{X}, t)\). Sa mekanika ng solid, natural itong pagpili dahil ibinibigay ang reference configuration bilang nakapirming hugis.
Spatial na paglalarawan (Euler description): inilalarawan ang mga pisikal na dami bilang function ng \((\boldsymbol{x}, t)\). Karaniwang ginagamit ito sa mekanika ng fluid.

Ang structural analysis ng FrontISTR ay pangunahing nakabatay sa material na paglalarawan, ngunit sa Updated Lagrange method ginagamit ang kasalukuyang configuration bilang bagong reference configuration, kaya ginagamit din ang mga dami ng spatial na paglalarawan.

Paglipat, bilis, at acceleration¶

Ang paglipat na \(\boldsymbol{u}\) ay tinutukoy gaya sa nakaraang seksiyon bilang \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Walang ipinapalagay tungkol sa laki nito, kaya kabilang ang may-hangganang deformasyon. Ang velocity at acceleration vector ay tinutukoy bilang material time derivatives ng \(\boldsymbol{u}\) habang sinusundan ang parehong material point:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

at tinutukoy gaya ng nasa itaas.

Gradient ng deformasyon at mga tensor ng deformasyon¶

Tensor ng gradient ng deformasyon¶

Ang pangunahing dami sa continuum mechanics ng may-hangganang deformasyon ay ang tensor ng gradient ng deformasyon \(\boldsymbol{F}\). Isa itong linear mapping na nagmamapa sa infinitesimal line element \(d\boldsymbol{X}\) sa reference configuration patungo sa infinitesimal line element \(d\boldsymbol{x}\) sa kasalukuyang configuration, at tinutukoy bilang gradient ng mapping ng paggalaw kaugnay ng material coordinate:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

(\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). Sa hindi deformadong estado, \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). Malawakang ginagamit ang \(\boldsymbol{F}\) sa pagtukoy ng strain at stress at sa pagbabago ng mga pisikal na dami sa pagitan ng mga configuration.

Ratio ng pagbabago ng volume¶

Ang ratio ng infinitesimal volume na \(dV\) sa reference configuration at infinitesimal volume na \(dv\) sa kasalukuyang configuration ay tinatawag na ratio ng pagbabago ng volume \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Mula sa invertibility ng continuum, ipinapalagay ang \(J > 0\). Ang batas ng conservation of mass ay isinusulat bilang \(\rho_0 = J\rho\).

Kanan at kaliwang Cauchy-Green deformation tensor¶

Dahil kasama sa gradient ng deformasyon \(\boldsymbol{F}\) ang rigid-body rotation, gumagamit ang sukatan ng deformasyon mismo ng daming walang rigid-body rotation. Ang kanang Cauchy-Green deformation tensor \(\boldsymbol{C}\) (reference configuration) at kaliwang Cauchy-Green deformation tensor \(\boldsymbol{b}\) (kasalukuyang configuration) ay tinutukoy bilang

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Pareho silang symmetric tensor at may parehong eigenvalue (square ng principal stretch ratio). Ang mga principal invariant ng hyperelastic strain-energy function ay ibinibigay gamit ang mga ito.

Mga tensor ng strain¶

Green-Lagrange strain tensor¶

Bilang sukatan ng strain na nakabatay sa reference configuration, ang Green-Lagrange strain tensor \(\boldsymbol{E}\) ay tinutukoy bilang

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Isa itong symmetric tensor na kumakatawan sa pagbabago ng inner product ng infinitesimal vector sa reference configuration; invariant ito sa rigid-body rotation at nagiging \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) sa hindi deformadong estado. Gamit ang \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\),

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

naipapahayag ito bilang suma ng first- at second-order term ng gradient ng paglipat, at ang second-order term ang kumakatawan sa heometrikong di-linearity. Sa Total Lagrange method, ginagamit ito bilang stress-conjugate pair na \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Almansi strain tensor¶

Bilang sukatan ng strain na nakabatay sa kasalukuyang configuration, ang Almansi strain tensor \(\boldsymbol{e}\) ay tinutukoy bilang

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Kaugnay ito ng Green-Lagrange strain sa pamamagitan ng \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pullback).

Infinitesimal strain tensor¶

Kapag maliit ang gradient ng paglipat (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), maaaring balewalain ang second-order term ng Green-Lagrange strain at nawawala rin ang pagkakaiba ng dalawang configuration; kaya nagiging infinitesimal strain tensor \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ito na ang gradient ay nasa spatial coordinate:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Ginagamit ang sukatan ng strain na ito sa linear static analysis, modal analysis, frequency-response analysis, at linear dynamic analysis ng FrontISTR. Sa finite-deformation analysis, ginagamit ang \(\boldsymbol{E}\) sa Total Lagrange method, at ang rate-of-deformation tensor \(\boldsymbol{D}\) na nakabatay sa kasalukuyang configuration sa Updated Lagrange method.