I-skip tungo sa nilalaman

Numerikal na Integrasyon

Ang mga element internal-force vector na \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) at element stiffness matrix na \(\boldsymbol{K}^e\) na nakuha sa Diskretisasyon ng Virtual Work ng Internal Force at Virtual Work ng External Force at Assembly ng Global Equation ay nasa anyo ng mga integral sa element domain na \(\Omega^e\) o \(\Omega^e_0\). Numerikal na sinusuri ng FrontISTR ang mga ito gamit ang Gauss quadrature.

Gauss Quadrature at Pagpapalit ng Variable

Inaaproksima ng Gauss quadrature ang integral sa reference domain na \(\Xi\) sa pamamagitan ng linear na kombinasyon ng mga halaga ng integrand sa integration point na \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) at mga weight na \(w_i\). Kapag inilapat sa element domain na \(\Omega^e\), kasama rito ang pagpapalit ng variable sa pamamagitan ng mapping na \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), kaya

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

kung saan ang \(n_q\) ay bilang ng integration point at ang \(J_{\xi_i}\) ay determinant ng transformation Jacobian. Itinatakda ang reference domain na \(\Xi\) para sa bawat uri ng elemento (para sa hexahedron, \([-1,1]^3\); para sa triangle, tetrahedron, at wedge, ang kani-kanilang reference shape), at ibinibigay ang mga integration point na \(\boldsymbol{\xi}_i\) at weight na \(w_i\) bilang numerikal na mga talahanayan. Ang surface integral ay tinatrato sa parehong anyo sa pamamagitan ng pag-map ng element face mula sa dalawang-dimensional na reference domain.

Ipinapakita sa ibaba ang mga karaniwang bilang ng integration point na ginagamit ng FrontISTR (para sa pagtutugma sa mga uri ng elemento, tingnan ang Sistema ng Pagnumero ng Elemento at Shape Function Library).

Uri ng elemento Quadrature rule Bilang ng integration point
Tetrahedron na may 4 na node (tet4n) 1-point na rule 1
Tetrahedron na may 10 node (tet10n) 4-point na rule 4
Triangular prism na may 6 na node (prism6n) 2-point na rule 2
Triangular prism na may 15 node (prism15n) 9-point na rule 9
Hexahedron na may 8 node (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
Hexahedron na may 20 node (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
Quadrilateral na may 4 na node (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
Quadrilateral na may 8 node (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
Triangle na may 3 node (tri3n) 1-point na rule 1
Triangle na may 6 na node (tri6n) 3-point na rule 3

Para sa hexahedral, quadrilateral, at line element, ginagamit ang tensor product ng Gauss-Legendre rule sa bawat coordinate direction. Gumagamit ang mga triangle, tetrahedron, at triangular prism ng mga espesyal na rule na angkop sa simplex-type geometry (mga ayos ng punto na eksaktong nag-iintegrate ng polynomial sa mismong triangle).

Paglalapat sa Element Integration

Sa element integration, ginagamit ang natural coordinates na \(\boldsymbol{r}\) bilang coordinates ng reference domain (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), at ang mapping tungo sa physical coordinates ay ibinibigay ng interpolation ng nodal coordinates gamit ang shape functions. Depende sa piniling reference configuration (Balangkas ng Incremental na Pagsusuri), ginagamit ang mga sumusunod na formulation.

Total Lagrange na paraan (integration sa reference configuration na \(\Omega^e_0\)): ang mapping at Jacobian ay

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

at inaaproksima ang element internal force at stiffness matrix bilang

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Ang \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) ay pawang sinusuri sa integration point na \(\boldsymbol{r}_i\).

Updated Lagrange na paraan (integration sa kasalukuyang configuration na \(\Omega^e\)): ang mapping at Jacobian ay

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

at

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

ang ginagamit bilang mga aproksimasyon.

Ang tanging pagkakaiba ng dalawang formulation ay kung ang nodal coordinates na ibinibigay sa mapping ay \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) o \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); pareho ang integration points, weights, at istruktura ng integration-point loop.

Full Integration at Reduced Integration

Ang integration na gumagamit ng sapat na integration point upang eksaktong ma-integrate ang polynomial degree ng integrand ay tinatawag na full integration, habang ang gumagamit ng isang antas na mas kaunting integration point ay tinatawag na reduced integration. Ginagamit ang reduced integration upang mabawasan ang shear at volumetric locking, ngunit kailangan nitong tugunan ang mga huwad na deformation mode gaya ng hourglass mode. Ang bilang ng integration point para sa bawat uri ng elemento at ang pagpili sa pagitan ng full at reduced integration ay tinatalakay sa Sistema ng Pagnumero ng Elemento at Shape Function Library at mga kasunod na seksyon, at sa Mga Advanced na Element Formulation.

Mga Kaugnay na Paksa

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status