I-skip tungo sa nilalaman

Mga spatial derivative ng shape function

Ang shape function na \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) na ipinakilala sa Mga Shape Function at Finite Element Approximation ay ibinibigay bilang function ng natural coordinates \(\boldsymbol{r}\), ang mga lokal na coordinate ng elemento. Samantala, sa integrand ng weak form, sa pamamagitan ng strain–displacement relation, lumilitaw ang mga partial derivative na may paggalang sa physical coordinates (reference configuration na \(\boldsymbol{X}\) o current configuration na \(\boldsymbol{x}\)), ibig sabihin \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) o \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Inaayos ng kabanatang ito ang pamamaraan para kalkulahin ang mga spatial derivative ng shape function na ito mula sa mga coordinate ng node ng elemento at mga derivative sa natural coordinates.

Pagpapahayag ng spatial derivatives gamit ang chain rule

Kapag inilapat ang chain rule sa interpolation formula na \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (nakaraang kabanata), gamit ang Jacobian matrix \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) ng mapping mula natural coordinates tungo sa physical coordinates, makukuha ang

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Dito, ang \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) at \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ay mga \(n_e \times 3\) matrix kung saan ang row na \(\alpha\) ay kumakatawan sa vector ng partial derivative para sa node na \(\alpha\).

Pagbuo ng Jacobian matrix

Kapag kinuha ang partial derivative ng interpolation formula ayon sa \(\boldsymbol{r}\),

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Kaya maaaring buuin nang direkta ang Jacobian matrix mula sa mga coordinate ng node ng elemento na \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) at natural-coordinate derivatives na \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Ang natural-coordinate derivatives ay tinutukoy ng functional form ng shape functions at paunang ipinapatupad para sa bawat uri ng elemento.

Ginagamit ang determinant ng Jacobian matrix na \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) sa numerical integration upang i-transform ang volume element bilang \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Kapag naging \(0\) ang determinant, degenerate ang elemento at mabibigo ang pagkalkula.

Daloy ng pagkalkula

Mula sa derivation sa itaas, maaaring hatiin sa sumusunod na apat na yugto ang pagkalkula ng spatial derivatives na \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\).

  1. Pagkalkula ng natural-coordinate derivatives: gamit ang uri ng elemento at natural coordinates na \(\boldsymbol{r}\) ng evaluation point bilang input, kalkulahin ang natural-coordinate derivative matrix na \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Dahil nag-iiba ang functional form ng shape functions ayon sa uri ng elemento, naghihiwalay ang proseso batay sa uri ng elemento.
  2. Pagkalkula ng Jacobian matrix: mula sa mga coordinate ng node ng elemento na \(\boldsymbol{X}^e\) at \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\), buuin ang Jacobian matrix na \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) gamit ang equation sa nakaraang seksiyon.
  3. Pagkalkula ng inverse matrix at determinant: kalkulahin ang inverse ng Jacobian matrix na \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) at ang determinant nito. Ginagamit ang determinant bilang weight sa numerical integration.
  4. Pagkalkula ng spatial derivatives: makuha ang spatial derivatives na \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) bilang produkto ng \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) at \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\).

Naghihiwalay ang apat na yugtong ito ayon sa uri ng elemento at spatial dimension (2D o 3D), ngunit pareho ang pangkalahatang daloy.

Iisang pamamaraan para sa reference at current configuration

Maaari ring ilapat ang pamamaraan sa itaas sa current configuration sa pamamagitan lamang ng pagpapalit ng \(\boldsymbol{X}^e\) sa current nodal coordinates na \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\), upang makuha ang spatial derivatives na \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) sa current configuration. Kaya maaaring gamitin ang iisang pamamaraan sa Total Lagrange at Updated Lagrange methods sa pamamagitan lamang ng pagpapalit ng input nodal coordinates.

Kaugnay na mga paksa

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status