Creep¶

Tinatalakay sa kabanatang ito ang constitutive law para sa creep na ginagamit ng FrontISTR. Para sa mga detalye ng pagpili at input specification, tingnan ang 03_material sa seksiyon ng mga function.

Penomenong creep at additive decomposition ng strain¶

Ang time-dependent na displacement sa ilalim ng constant-stress condition ay penomenong tinatawag na “creep”.

Ang viscoelastic behavior na inilarawan sa itaas ay maaari ring ituring na isang uri ng linear creep phenomenon. Dito, inilalarawan ang ilang nonlinear na creep. Karaniwang binubuo ang constitutive relation sa pamamagitan ng pagdaragdag nito sa strain na nangyayari nang instantaneously, at ang strain na naiipon habang nagpapatuloy ang isang tiyak na constant load ay itinuturing na creep strain \(\varepsilon^c\). Ang constitutive relation na isinasaalang-alang ang creep ay karaniwang inilalarawan gamit ang creep strain rate \(\dot{\varepsilon}^c\), na dinefine bilang function ng stress at kabuuang creep strain.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Kung ang strain na nangyayari nang instantaneously ay elastic strain \(\varepsilon^e\), ang total strain ay inilalarawan bilang sumusunod na suma kasama ang creep strain.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

kung saan

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(ang \(c\) ay elasticity-coefficient tensor).

Norton law¶

Bilang partikular na anyo ng creep constitutive law, ginagamit ng FrontISTR ang sumusunod na Norton model. Sa constitutive law na ito, ang equivalent creep strain rate \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) ay inilalarawan bilang function ng Mises stress \(q\) at oras \(t\) tulad ng sumusunod.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Dito, ang \(A\), \(m\), at \(n\) ay mga material constant.

Time integration at pag-update ng stress¶

Tulad ng plastic material, kailangang tukuyin ang paraan ng time integration para sa numerical analysis ng constitutive law na nagpapakita ng creep. Ang constitutive relation kapag isinasaalang-alang ang creep ay

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

kung saan ang \(\beta_{n+\theta}\) ay

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

At ang creep strain increment \(\Delta \varepsilon^c\) ay tinutukoy ng pinasimpleng nonlinear equation na

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

Sa iterative calculation gamit ang Newton-Raphson method, kung gagawing initial value ang \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) at gagamitin ang strain increment na nakuha mula sa finite element method, ang iterative solution at increment solution ay ang sumusunod.

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

kung saan

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

. Kapag inuulit ang solution hanggang ang residual \(R\) ay maging \(\mathbf{0}\), ginagamit ang stress \(\sigma_{n+1}\) at tangent modulus

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

Mga kaugnay na item¶

Viscoelasticity — viscoelastic behavior na katumbas ng linear creep
Tangent stiffness matrix — tangent stiffness para sa incremental analysis na may creep
Material data (mga function) — pagtukoy ng parameter ng Norton model