Linear elasticity¶

Tinatalakay sa kabanatang ito ang constitutive law (Hooke’s law) para sa linear elastic materials. Para sa detalye ng pagpili ng model at input specification, tingnan ang 03_material sa seksiyon ng mga function.

Phenomenon (linear elastic response)¶

Ang linear elastic body ay material na, sa saklaw kung saan sapat na maliit ang strain sa ilalim ng load, ay may linear na ugnayan sa pagitan ng stress at strain at reversible at history-independent na response kung saan bumabalik sa orihinal na estado ang lahat ng strain kapag inalis ang load. Hindi tulad ng plasticity o creep, wala itong internal variable na kumakatawan sa estado (gaya ng plastic strain o viscous strain), at natutukoy nang natatangi ang stress batay lamang sa kasalukuyang strain.

Sa small-deformation range, ginagamit ang Cauchy stress \(\boldsymbol{\sigma}\) at infinitesimal strain \(\boldsymbol{\varepsilon}\); sa finite-deformation range (mga problemang may malaking rotation ngunit maliit ang strain mismo), ginagamit ang second Piola-Kirchhoff stress \(\boldsymbol{S}\) at Green-Lagrange strain \(\boldsymbol{E}\) (St.Venant-Kirchhoff material).

Constitutive law¶

Isotropic linear elastic material¶

Sa small-deformation range, ipinapahayag ang isotropic Hooke’s law gamit ang Lamé constants \(\lambda, \mu\) bilang

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Sa component form,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

at ang double contraction sa strain ay nagbibigay ng \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Ang Lamé constants ay nauugnay sa Young’s modulus \(E\) at Poisson’s ratio \(\nu\) gaya ng sumusunod:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Sa Voigt notation, isinusulat ang ugnayan sa pagitan ng strain vector \(\hat{\varepsilon}\) at stress vector \(\hat{\sigma}\) bilang \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), at ang three-dimensional material matrix \(D\) ay

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Ginagamit ang matrix representation na ito sa implementation.

Orthotropic linear elastic material¶

Para sa mga material na nag-iiba ang elastic constants ayon sa principal-axis direction, ginagamit ang orthotropic model na may siyam na independent constants: Young’s moduli sa principal-axis directions \(E_1, E_2, E_3\), Poisson’s ratios sa pagitan ng mga principal axis \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\), at shear moduli \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Para sa explicit form ng \(D\) matrix, sumangguni sa mga pamantayang sanggunian.

Finite-deformation range: St.Venant-Kirchhoff material¶

Para sa mga problemang may malaking rotation ngunit maliit ang strain mismo, ginagamit ang St.Venant-Kirchhoff material bilang linear elastic law na nag-uugnay sa second Piola-Kirchhoff stress \(\boldsymbol{S}\) at Green-Lagrange strain \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Kapareho ng sa small-deformation case ang mga depinisyon ng Lamé constants \(\lambda, \mu\). Gayunman, dahil magkaiba ang depinisyon ng stress-strain pair, ibang constitutive law ito kaysa Hooke’s law para sa small deformation.

Hypoelastic material¶

Sa Updated Lagrange method, gumagamit ng hypoelastic material na sumusunod sa linear elastic law sa pagitan ng Jaumann rate ng relative Kirchhoff stress tensor \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) at rate-of-deformation tensor \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Dito rin, kapareho ng nasa itaas ang depinisyon ng \(\boldsymbol{C}\) ayon sa Lamé constants, ngunit dahil magkaiba ang stress-strain pair, ibang constitutive law ito. Para sa detalye kung paano ina-update ang \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) sa time-integration procedure (forward Euler integration at central-difference approximation), tingnan ang tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Pagpapasimple para sa two-dimensional analysis at shell elements¶

Plane stress (\(\sigma_{33} = 0\))¶

Para sa plane stress na kumakatawan sa loading ng manipis na plate at shell, ipinapalagay ang \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), algebraically inaalis ang out-of-plane strain component \(\varepsilon_{33}\), at ginagamit ang nagresultang \(D\):

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Plane strain (\(\varepsilon_{33} = 0\))¶

Para sa plane strain na kumakatawan sa cross section ng mahabang structure na constrained sa thickness direction, ipinapalagay ang \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Axisymmetric¶

Sa axisymmetric analysis, na tumatalakay sa mga problemang nasa cylindrical coordinates \((r, \theta, z)\) at uniform sa \(\theta\) direction, pinananatili ang apat na component na \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) at \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), at

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

nakukuha.

Shell elements (plane stress + transverse shear)¶

Para sa shell elements, itinuturing ang in-plane stress bilang plane stress, at para sa transverse shear strain components \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\), inilalapat ang shear correction factor \(\kappa\) (karaniwang \(\kappa = 5/6\)) upang gamitin ang \(\kappa\, G\). Para sa detalyadong formulation ng bawat element, tingnan ang Advanced element formulations. Ang specification sa 03_material ng functions section na "linear elasticity lamang ang sinusuportahan ng shell elements" ay nakabatay sa pagpapasimpleng ito na ituring ang in-plane state bilang plane stress.

Temperature dependence¶

Karaniwang tinutukoy ang Young’s modulus \(E\), Poisson’s ratio \(\nu\), at coefficient of linear expansion \(\alpha\) bilang mga function ng temperature \(T\). Sa FrontISTR, inilalagay ang mga halaga para sa finite sequence ng temperature points \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), at ang halaga sa temperature \(T\) habang nagkakalkula ay tinataya sa pamamagitan ng linear interpolation sa pagitan ng magkatabing punto. Para sa temperature na nasa labas ng range (\(T < T_1\) o \(T > T_n\)), ginagamit sa extrapolation ang value sa pinakamalapit na endpoint, \(T_1\) o \(T_n\) (constant extrapolation).

Para sa temperature dependence ng thermal at heat-conduction properties (density, specific heat, at thermal conductivity), tingnan ang Thermal properties. Pareho ang interpolation rules para sa mga property na ito.

Mga kaugnay na paksa¶

Tensor notation at mathematical foundations — mga convention ng Voigt notation at papel ng material matrix \(D\)
Motion, deformation, at strain — pangkalahatang pagtalakay sa deformation gradient at strain tensor
Hyperelasticity — pagpapalawak sa reversible response na may large strain
Elastoplasticity — hypoelastic at plastic models kabilang ang plastic strain
Thermal properties — mga property na ginagamit sa heat conduction at thermal-stress coupling
Material data (mga function) — mga option at pagpili ng model