Nonlinear na Iteration at Time Integration¶

Isinusulong ng FrontISTR ang solution sa pamamagitan ng pagsasama ng nonlinear iterations at time integration sa bawat substep sa loob ng increment control ng bawat step. Inilalarawan ng pahinang ito ang mga iterative structure sa pagitan ng panlabas na step control at panloob na linear solver: Newton-Raphson iterations, contact iterations, time integration para sa dynamic analysis, at ang framework ng time advancement at nonlinear iteration sa transient heat conduction.

Pangkalahatang-ideya¶

Ang nonlinear solution at time integration sa loob ng isang step ay may nested structure na binubuo ng maraming loop mula sa labas papasok. Ang bawat layer ay may sumusunod na tungkulin.

Nakadepende sa uri ng analysis kung alin sa mga layer na ito ang ginagamit.

Para sa pagpili mismo ng contact type at algorithm, tingnan ang Contact at Embedding. Inilalarawan ng pahinang ito kung paano inaayos bilang iterative loop ang napiling algorithm.

Pagpili ng solution scheme¶

Awtomatikong tinutukoy ang iterative structure mula sa napiling uri ng analysis (Mga Uri ng Analysis), kung mayroon o walang nonlinearity (geometric nonlinearity, material nonlinearity, o contact), at sa contact algorithm (SLAGRANGE o ALAGRANGE). Direktang ina-adjust ng user ang upper limits ng iteration count at ang convergence criteria.

Gamitin ang mga sumusunod na guideline sa pag-tune ng mga setting na ito.

• Para sa karaniwang analysis, kadalasang sapat ang default upper limit ng bilang ng iteration. Kung umabot sa maximum iteration count nang hindi nag-converge ang isang mahirap i-converge na problema, gamitin muna ang cutback (Step Control); dagdagan lamang ang upper limit kung hindi nito napapabuti ang convergence.
• I-adjust ang convergence criteria upang balansehin ang stability ng analysis at computation time. Pinapahusay ng mas mahigpit na criteria ang equilibrium accuracy ngunit dinaragdagan ang iteration count. Sa contact analysis at mga analysis na gumagamit ng Lagrange multipliers, maaaring mapahusay ang stability sa pagsasama ng displacement-increment o Lagrange criteria sa residual criterion.
• Para sa time-integration parameters sa dynamic analysis (Newmark-β coefficients), magsimula sa standard na kombinasyon ng values at i-adjust ang mga ito kapag binabago ang numerical-damping characteristics ng vibration response.
• Para sa time-integration scheme sa transient heat conduction, gamitin ang Crank-Nicolson sa mga problemang may smooth temperature changes, at Backward Euler kapag mas mahalaga ang matutulis na pagbabago o long-term stability.

Newton-Raphson iteration sa static analysis¶

Sa nonlinear static analysis, ang equilibrium equations na may geometric o material nonlinearity ay nilulutas nang iterative gamit ang Newton-Raphson method. Ganito ang bawat iteration.

1. I-evaluate ang residual vector \(\boldsymbol{R}\) sa kasalukuyang solution.
2. I-assemble ang tangent stiffness matrix \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Lutasin ang linear system \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) upang makuha ang displacement correction \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. I-update ang solution bilang \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Ihambing sa convergence criteria. Kapag naabot ang convergence, tapusin ang iteration; kung hindi, bumalik sa step 1.

Ang linear solver ang nagsasagawa ng linear-system solution (step 3). Para sa pagpili ng solver at preconditioner, tingnan ang Solver at Preconditioning.

Kinokontrol ang iteration gamit ang step-control parameters ng !STEP. Ang pangunahing control values ay ang mga sumusunod.

Ang maximum Newton iteration count na tinutukoy sa automatic-increment at cutback decisions sa Step Control ay ang bilang ng Newton iterations na inilalarawan sa pahinang ito. Dinadagdagan ng automatic increment control ang time increment pagkatapos ng substep na nag-converge sa kaunting iteration at binabawasan ito pagkatapos ng substep na nangailangan ng maraming iteration.

Contact iteration sa static analysis¶

Sa contact analysis, nagbabago ang contact state habang nag-i-iterate dahil sa contact, separation, at sliding sa contact surfaces, kaya pinagsasama ang Newton iteration at contact-state updates. Nakadepende ang structure sa contact-solution algorithm.

Inilalagay ng parehong algorithm ang contact-state search loop sa pinakalabas na level. Sa bawat pass ng loop na ito, muling sinusuri ang contact state (contact/separation) matapos mag-converge ang inner Newton iteration. Kung nagbago ang state, ina-update ang structure ng stiffness matrix at muling pinapatakbo ang inner iteration. Nagtatapos ang loop kapag hindi nagbago ang contact state mula sa nakaraang pass at natugunan ang contact convergence criteria (contact-force at Lagrange-multiplier criteria). Ang upper limit ng bilang ng pass ay tinutukoy ng MAXCONTITER ng !STEP.

Sa SLAGRANGE contact, isinasama ang contact degrees of freedom sa linear system gamit ang standard Lagrange multiplier method, kaya nagkakaroon ng two-layer structure kung saan ang Newton iteration ay direktang nasa loob ng contact-state search loop. Walang augmented Lagrange iteration.

Sa ALAGRANGE contact, nagdaragdag ng augmented Lagrange iteration sa loob ng contact-state search loop, at isinasagawa ang Newton iteration sa loob nito, kaya nagkakaroon ng three-layer structure. Sa bawat augmented Lagrange iteration, muling sinusuri ang contact constraint gamit ang kombinasyon ng penalty term at Lagrange multiplier, kaya unti-unting pinapahusay ang constraint accuracy. Ang upper limit ng bilang ng augmented Lagrange iterations ay tinutukoy ng AUGITER ng !CONTACT_ALGO.

Ang control values para sa contact iteration ay ang mga sumusunod.

Ang contact iteration count na tinutukoy ng automatic-increment decisions sa Step Control ay ang bilang ng iterations na inilalarawan sa pahinang ito, kasama ang contact-state updates. Ang mga analysis na madalas magkaroon ng contact at separation ay kadalasang nangangailangan ng mas maraming contact iterations, na nakaaapekto rin sa automatic-increment at cutback decisions. Para sa contact types, pair definitions, at algorithm selection, tingnan ang Contact at Embedding. Para sa paglutas ng linear system na may contact degrees of freedom, tingnan ang Solver at Preconditioning.

Time integration sa dynamic analysis (implicit method)¶

Ginagamit ng implicit method para sa dynamic analysis ang Newmark-β method upang iugnay ang displacement, velocity, at acceleration sa susunod na oras sa bawat time step, at pinagsasama ang mga ugnayang ito sa equation of motion upang makuha ang state sa oras na \(t + \Delta t\). Banayad ang stability restriction sa time step na \(\Delta t\), kaya mahusay na nalulutas ang structural responses na dominado ng low-frequency components.

Ginagamit ang sumusunod na dalawang time-integration parameter.

Ang kombinasyong \(\beta = 1/4\) at \(\gamma = 1/2\) ay tinatawag na average acceleration method at isang standard choice na unconditionally stable at walang numerical damping. Upang maglagay ng numerical damping, pumili ng \(\gamma\) na mas malaki sa \(1/2\). Para sa mathematical details ng parameter combinations, stability, at error characteristics, tingnan ang theory manual.

Kapag may nonlinearity (geometric nonlinearity, material nonlinearity, o contact), isinasagawa ang Newton iteration sa loob ng bawat time step; nilulutas ang linear system sa loob ng iteration at ina-update ang state. Ginagamit ng convergence criteria ang CONVERG at mga kaugnay na value na kapareho ng static analysis. Sa dynamic analysis na may contact, isinasama sa bawat time step ang parehong iterative structure gaya ng Contact Iteration sa Static Analysis.

Pangunahing kinokontrol ang time step sa dynamic analysis ng time conditions ng !STEP. Sa fixed increments, itinatakda ng !STEP ang DTIME bilang time step at ETIME bilang step duration. Ang n_step at t_delta values ng !DYNAMIC ay ginagamit bilang defaults kapag walang !STEP at para sa backward compatibility. Sa nonlinear implicit method, ang !STEP na may INC_TYPE=AUTO ay nagpapagana ng automatic increments at cutback, at dinadagdagan o binabawasan ang time step ayon sa kalagayan ng Newton at contact iterations. Fixed man o automatic ang increments, itakda ang time step na isinasaalang-alang ang convergence at kinakailangang accuracy.

Time integration sa dynamic analysis (explicit method)¶

Ginagamit ng explicit method para sa dynamic analysis ang central difference method upang direktang kalkulahin ang state sa susunod na oras mula lamang sa displacement, velocity, at acceleration information sa nakaraang oras. Dahil walang simultaneous equations na nilulutas, mababa ang computation cost bawat step. Kahit may nonlinearity, ang bawat time step ay single-stage update na walang Newton iteration.

May upper limit ang time step na itinatalaga ng stability condition batay sa minimum natural period ng system (CFL condition). Ang time step na lampas sa limit na ito ay nagdudulot ng divergence ng numerical solution, kaya hindi maaaring gumamit ng malalaking time step gaya ng posible sa implicit method. Kapaki-pakinabang ang explicit method para sa mga phenomenon gaya ng impact, wave propagation, at high-speed contact, kung saan likas na kailangan ang maliliit na time step.

Kapag may contact, ginagamit ang Forward Increment Lagrange method upang ipataw ang contact constraints. Tinataya ang contact forces sa paraang naaayon sa single-stage update ng explicit method.

Solution method para sa frequency response analysis¶

Direktang kinukuha ng frequency response analysis ang periodic steady-state response sa frequency domain gamit ang modal superposition method. Sinusuri nito ang response habang binabago ang excitation frequency at hindi kailangang sundan ang time history sa pamamagitan ng iterations. Walang nonlinear iterations o time integration na isinasagawa.

Bago maisagawa ang frequency response analysis, kailangang magsagawa ng modal analysis para sa parehong system at kunin ang kinakailangang bilang ng natural modes. Linear models lamang ang sinusuportahan; hindi maisasagawa ang analysis kapag enabled ang geometric o material nonlinearity. Para sa posisyon ng analysis type na ito, tingnan ang Mga Uri ng Analysis.

Time advancement at nonlinear iteration sa transient heat conduction¶

May sariling time loop ang transient heat conduction na nakukumpleto sa loob ng !HEAT. Kinokontrol ang time step sa hiwalay na path mula sa !STEP at !AUTOINC_PARAM ng structural analysis, at kapag nakadepende sa temperature ang material properties, isinasagawa ang nonlinear iteration sa loob ng bawat time step.

Pinipili ang time-integration scheme gamit ang \(\beta\) parameter ng !HEAT.

Adaptively na kinokontrol ang time step sa pagsasama ng initial time step, minimum time step, at maximum temperature change bawat step. Kung lumampas ang temperature change sa DELTMX pagkatapos ng calculation sa isang time step, binabawasan ang time step at muling kinakalkula ang step. Ina-abort ang analysis kapag bumaba ang time step sa minimum time step na DTMIN.

Kapag nakadepende sa temperature ang material properties, isinasagawa ang nonlinear iteration sa loob ng bawat time step. Kinokontrol ang iteration gaya ng sumusunod.

Hindi gumagamit ng time stepping ang steady heat conduction; nonlinear iteration lamang ang isinasagawa kapag nakadepende sa temperature ang material properties. Dahil hiwalay sa !STEP ng structural analysis ang time control ng heat conduction analysis, suriin ang !HEAT settings kapag ina-adjust ang time step.

Kaugnay na paksa¶

• Mga Uri ng Analysis — Posisyon ng bawat analysis type.
• Contact at Embedding — Pagpili ng contact types, pair definitions, at solution algorithms.
• Solver at Preconditioning — Paglutas ng linear simultaneous equations na tinatawag sa loob ng Newton iteration.
• Step Control — Panlabas na step/substep control at automatic increments/cutback.
• Newton-Raphson Method (Theory) — Formulation ng iterative solution method.
• Convergence Criteria (Theory) — Mathematical definitions ng convergence indicators.
• Dynamic Analysis Methods (Theory) — Formulation ng Newmark-β at central difference methods.
• Transient Heat Conduction Analysis (Theory) — Formulation ng time integration para sa heat conduction.
• Contact Analysis (Theory) — Formulation ng Lagrange multiplier method.
• Sanggunian ng keyword: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.