การวิเคราะห์การตอบสนองความถี่¶

การกำหนดปัญหา¶

การวิเคราะห์การตอบสนองความถี่ใช้ประเมินแอมพลิจูดและเฟสของการตอบสนองในสภาวะคงตัวในโดเมนความถี่ เมื่อแรงภายนอกเปลี่ยนแปลงแบบฮาร์มอนิกตามเวลา เนื่องจากกรอบของสมการการเคลื่อนที่แตกต่างกันระหว่างกรณีไม่มีและมีการหน่วง บทนี้จึงเริ่มจากการหามอดเฉพาะจากการสั่นอิสระแบบไม่มีการหน่วง แล้วใช้มอดเหล่านี้เป็นฐานมอดเพื่อขยายการตอบสนองฮาร์มอนิกในกรณีมีการหน่วง

การสั่นอิสระแบบไม่มีการหน่วงและมอดเฉพาะ¶

สมการการเคลื่อนที่เมื่อไม่พิจารณาการหน่วงเป็นดังสมการต่อไปนี้

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

เมื่อขยายสมการนี้ตามมอดเฉพาะแต่ละมอด จะได้

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

แทนค่าลงในสมการ \(\eqref{eq:2.6.1}\) จะได้

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

จะได้สมการดังกล่าว วิธีเชิงตัวเลขสำหรับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะทั่วไปนี้ (การวนซ้ำผกผันแบบมี shift และวิธี Lanczos) อธิบายใน การวิเคราะห์ค่าลักษณะเฉพาะ ส่วนนี้สรุปคุณสมบัติของความถี่ธรรมชาติและมอดเฉพาะที่ได้ ซึ่งจะใช้ในการขยายการตอบสนองฮาร์มอนิกต่อไป

ความเป็นจำนวนจริงของความถี่ธรรมชาติ¶

พิสูจน์ว่าความถี่ธรรมชาตินี้เป็นจำนวนจริงดังต่อไปนี้ กำหนด \(\omega_j^2 = \lambda_j\) และหาคอนจูเกตเชิงซ้อนของสมการ \(\eqref{eq:2.6.3}\) จะได้สมการ \(\eqref{eq:2.6.4}\)

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

คูณสมการนี้ด้วย \(\overline{U}_J^T\) จะได้

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

จากสมการ \(\eqref{eq:2.6.5}\) จะได้

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

ในที่นี้ เนื่องจากเมทริกซ์มวลเป็นเมทริกซ์สมมาตรบวกแน่นอน สำหรับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ จึงมี

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

ดังนั้น

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

และ \(\omega_j^2 = \lambda_j\) จึงเป็นจำนวนจริง

ความตั้งฉากและการทำให้เป็นบรรทัดฐานของมอดเฉพาะ¶

พิจารณามอดที่แตกต่างกันสองมอด

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

จากสมการเหล่านี้ จะได้

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

และเมื่อค่าลักษณะเฉพาะแตกต่างกัน จะได้

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

กล่าวคือ มอดเฉพาะที่แตกต่างกันจะตั้งฉากกันเมื่อพิจารณาตามเมทริกซ์มวล สำหรับมอดเดียวกัน การทำให้เป็นบรรทัดฐานตามเมทริกซ์มวล (สมการ \(\eqref{eq:2.6.12}\)) ช่วยให้จัดการได้สะดวกขึ้น

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

การตอบสนองฮาร์มอนิกภายใต้การหน่วง¶

ต่อไปเป็นการกำหนดรูปแบบสำหรับการวิเคราะห์การตอบสนองความถี่เมื่อพิจารณาการหน่วง สมการการเคลื่อนที่ที่พิจารณาแสดงในสมการ \(\eqref{eq:2.6.13}\)

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

ให้พจน์การหน่วงในที่นี้เป็นแบบ Rayleigh และเขียนได้ดังสมการ \(\eqref{eq:2.6.14}\)

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

เวกเตอร์การกระจัด ณ เวลา t สามารถขยายด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ได้จากการวิเคราะห์ค่าลักษณะเฉพาะดังสมการ \(\eqref{eq:2.6.15}\)

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

ในกรณีนี้ หากพจน์แรงภายนอกอยู่ในรูปออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

ให้กำหนด \(b_{j}(t)\) สำหรับกรณีดังกล่าว เนื่องจากสมการการเคลื่อนที่ \(\eqref{eq:2.6.13}\) อยู่ในรูปการสั่นบังคับ จึงมี

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

เมื่อหาส่วนจริงและส่วนจินตภาพของสัมประสิทธิ์การขยายของ \(b_{j}(t)\) จะได้รูปตามสมการ \(\eqref{eq:2.6.18}i\) และสมการ \(\eqref{eq:2.6.19}\)

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

ดังนั้นจะได้สมการข้างต้น

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง¶

การวิเคราะห์ค่าลักษณะเฉพาะ — การกำหนดรูปแบบของปัญหาค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นพื้นฐาน
วิธีวิเคราะห์พลวัต — การวิเคราะห์พลวัตในโดเมนเวลา
ประเภทการวิเคราะห์ — ภาพรวมฟังก์ชันการวิเคราะห์การตอบสนองความถี่