วิธีการวิเคราะห์พลวัต¶

ส่วนนี้อธิบายวิธีวิเคราะห์ปัญหาพลวัตด้วยการอินทิเกรตเวลาโดยตรง โดยนำเสนอการกำหนดรูปแบบของวิธีโดยนัยและวิธีโดยชัดแจ้ง

การทำให้สมการการเคลื่อนที่เป็นดิสครีต (กรอบร่วม)¶

TBD (จะจัดทำให้สมบูรณ์ในระยะถัดไป)

วิธีโดยนัย (วิธี Newmark-β)¶

สำหรับปัญหาพลวัต ใช้วิธีอินทิเกรตเวลาโดยตรงเพื่อแก้สมการการเคลื่อนที่ดังต่อไปนี้

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

ในที่นี้ \(M\) คือเมทริกซ์มวล \(C\) คือเมทริกซ์แดมป์ \(Q\) คือเวกเตอร์แรงภายใน และ \(F\) คือเวกเตอร์แรงภายนอก แม้ในการวิเคราะห์ไม่เชิงเส้น ก็สมมติว่าเมทริกซ์มวลคงที่โดยไม่ขึ้นกับการเสียรูป

การเปลี่ยนแปลงของการกระจัด ความเร็ว และความเร่งในช่วงเวลาเพิ่ม \(\Delta t\) ประมาณด้วยวิธี Newmark-\(\beta\) ตามสมการ \(\eqref{eq:2.5.2}\) และ \(\eqref{eq:2.5.3}\)

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

ในที่นี้ \(\gamma\) และ \(\beta\) เป็นพารามิเตอร์ของวิธี Newmark-\(\beta\)

ค่าของ \(\gamma\) และ \(\beta\) ต่อไปนี้สอดคล้องกับวิธีความเร่งเชิงเส้นและกฎสี่เหลี่ยมคางหมูตามลำดับ

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (วิธีความเร่งเชิงเส้น)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (กฎสี่เหลี่ยมคางหมู)

เมื่อนำสมการ \(\eqref{eq:2.5.2}\) และ \(\eqref{eq:2.5.3}\) แทนลงในสมการ \(\eqref{eq:2.5.1}\) จะได้สมการต่อไปนี้

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

โดยเฉพาะสำหรับปัญหาเชิงเส้น \(K_L\) คือเมทริกซ์สติฟเนสเชิงเส้นและ \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) เมื่อนำความสัมพันธ์นี้แทนลงในสมการข้างต้น จะได้

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

ที่ตำแหน่งซึ่งกำหนดความเร่งเป็นเงื่อนไขขอบเขตเชิงเรขาคณิต การกระจัดหาได้จากสมการ \(\eqref{eq:2.5.2}\) ดังนี้

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

ในทำนองเดียวกัน ที่ตำแหน่งซึ่งกำหนดความเร็ว การกระจัดหาได้จากสมการ \(\eqref{eq:2.5.6}\) ดังนี้

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

ในที่นี้ \(u_{is}(t+\Delta{t})\) คือการกระจัดของโหนด ณ เวลา \(t+\Delta{t}\), \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) คือความเร็วของโหนด ณ เวลา \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) คือความเร่งของโหนด ณ เวลา \(t+\Delta{t}\), \(i\) คือหมายเลของศาอิสระของโหนด และ \(s\) คือหมายเลขโหนด พจน์มวลและแดมป์จัดการดังต่อไปนี้

การจัดการพจน์มวล¶

โดยหลักแล้ว เมทริกซ์มวลจะจัดการเป็น เมทริกซ์มวลแบบลัมพ์

การจัดการพจน์แดมป์¶

พจน์แดมป์จัดการเป็น การหน่วงแบบ Rayleigh ตามสมการ \(\eqref{eq:2.5.8}\)

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

ในที่นี้ \(R_m\) และ \(R_k\) เป็นพารามิเตอร์การหน่วงแบบ Rayleigh

ค่า \(R_m\) และ \(R_k\) ที่กำหนดใน !DYNAMIC จะใช้เหมือนกันทั้งโมเดล หากต้องการกำหนดค่า \(R_m\) และ \(R_k\) ต่างกันสำหรับแต่ละวัสดุ ให้ระบุภายในบล็อก !MATERIAL ของวัสดุนั้นด้วย !DAMPING สำหรับเอลิเมนต์ที่เป็นของวัสดุซึ่งกำหนด !DAMPING เมทริกซ์แดมป์ของเอลิเมนต์จะคำนวณเป็น \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) จากเมทริกซ์มวลเอลิเมนต์ \(M_i\) และเมทริกซ์สติฟเนสแทนเจนต์ \(K_i\) แล้วประกอบเข้าสู่เมทริกซ์แดมป์ส่วนกลาง ฟังก์ชันนี้ใช้ได้เฉพาะวิธีโดยนัย

วิธีโดยชัดแจ้ง (วิธีผลต่างกลาง)¶

วิธีโดยชัดแจ้งอาศัยสมการการเคลื่อนที่ ณ เวลา t ดังต่อไปนี้

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

เมื่อขยายการกระจัด ณ เวลา \(t + \Delta t\) และ \(t - \Delta t\) ด้วยอนุกรม Taylor รอบเวลา \(t\) และเก็บพจน์ถึงอันดับสองของ \(\Delta t\) จะได้สมการต่อไปนี้

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

เมื่อนำสมการ \(\eqref{eq:2.5.3}\) และ \(\eqref{eq:2.5.4}\) มาหาผลต่างและผลรวม จะได้สมการต่อไปนี้

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

เมื่อนำสมการ \(\eqref{eq:2.5.12}\) และ \(\eqref{eq:2.5.13}\) แทนลงในสมการ \(\eqref{eq:2.5.9}\) จะได้

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

โดยเฉพาะสำหรับปัญหาเชิงเส้น \(Q(t) = K_L U(t)\) และสมการข้างต้นจะเป็น

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

หากใช้เมทริกซ์มวล \(M\) เป็น เมทริกซ์มวลแบบลัมพ์ และเมทริกซ์แดมป์เป็น เมทริกซ์การหน่วงแบบสัดส่วน \(C = R_m M\) สมการ \(\eqref{eq:2.5.15}\) ไม่จำเป็นต้องแก้ระบบสมการพร้อมกัน

ดังนั้น จากสมการ \(\eqref{eq:2.5.15}\) สามารถหา \(U(t+\Delta t)\) ได้ด้วยสมการต่อไปนี้

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง¶

ประเภทการวิเคราะห์ — ภาพรวมและการเลือกฟังก์ชันวิเคราะห์พลวัต
เอกสารอ้างอิง