สัญกรณ์เทนเซอร์และพื้นฐานทางคณิตศาสตร์¶

บทนี้รวบรวมข้อตกลงของสัญกรณ์เทนเซอร์ สัญกรณ์ดัชนี และสัญกรณ์ Voigt ที่ใช้ในบทต่อ ๆ ไปของคู่มือทฤษฎี FrontISTR โดยอธิบายเฉพาะ กฎสัญกรณ์ล้วน ๆ ที่ไม่ขึ้นกับนิยามของปริมาณทางกายภาพ ข้อตกลงสัญกรณ์ที่ขึ้นกับคอนฟิกูเรชันของการเคลื่อนที่ของตัวกลางต่อเนื่อง (คอนฟิกูเรชันอ้างอิง/ปัจจุบัน) เช่น การแยกตัวอักษรพิมพ์ใหญ่กับพิมพ์เล็ก และอนุพันธ์เชิงวัสดุกับเชิงพื้นที่ จะอธิบายใน การเคลื่อนที่ การเสียรูป และความเครียด ซึ่งเป็นบทที่แนะนำแนวคิดเรื่องคอนฟิกูเรชัน

สัญกรณ์เทนเซอร์¶

สัญกรณ์ตัวหนาสำหรับเวกเตอร์และเทนเซอร์¶

ตามข้อตกลงทางตัวพิมพ์ ปริมาณสเกลาร์และ องค์ประกอบ ของเวกเตอร์หรือเทนเซอร์เขียนด้วยตัวอักษรปกติ (เช่น \(\rho\) และ \(x_i\)) ส่วน ปริมาณเวกเตอร์และเทนเซอร์เอง เขียนด้วยตัวหนา (เช่น \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) และ \(\boldsymbol{\sigma}\))

ข้อตกลงการรวมแบบ Einstein¶

หากไม่ได้ระบุเป็นอย่างอื่น จะใช้ข้อตกลงการรวมแบบ Einstein กล่าวคือ เมื่อดัชนีเดียวกันปรากฏสองครั้งในพจน์เดียว จะทำการรวมตามดัชนีนั้น ตัวอย่างเช่น

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

และองค์ประกอบ \(i,j\) ของผลคูณ \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) ของเทนเซอร์ \(\boldsymbol{A}\) และ \(\boldsymbol{B}\) คือ

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

ตามข้อตกลงของดัชนี เมื่อใช้ \(i, j, k, l, \ldots\) เป็นดัชนีโดยไม่มีคำอธิบายเพิ่มเติม จะหมายถึงดัชนีที่สัมพันธ์กับองศาอิสระ (\(1, 2, 3\) ในสามมิติ) ส่วนอักษรกรีกตัวพิมพ์เล็ก \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) ที่ใช้เป็นดัชนี หมายถึงดัชนีของโหนดที่ประกอบเป็นเอลิเมนต์

ผลคูณภายใน ทรานสโพส และผลคูณเทนเซอร์¶

ทรานสโพสของเทนเซอร์ \(\boldsymbol{A}\) แทนด้วย \(\boldsymbol{A}^T\) การหดตัวสองชั้น ของเทนเซอร์อันดับสอง \(\boldsymbol{A}\) และ \(\boldsymbol{B}\) เขียนเป็น

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

ผลคูณภายในของเวกเตอร์ \(\boldsymbol{a}\) และ \(\boldsymbol{b}\) คือ \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) และผลคูณเทนเซอร์ของทั้งสองคือ \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\)

สัญกรณ์ Voigt¶

ความเค้นและความเครียดเป็นเทนเซอร์อันดับสองแบบสมมาตรตามองศาอิสระ และสัมประสิทธิ์ที่แสดงความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างทั้งสองเป็นเทนเซอร์อันดับสี่ การจัดการเทนเซอร์เหล่านี้โดยตรงในโปรแกรมไม่เหมาะทั้งด้านต้นทุนการคำนวณและการเขียนโค้ด (ต้องใช้อาร์เรย์หลายมิติและลูปซ้อนหลายชั้น) ดังนั้น โปรแกรมไฟไนต์เอลิเมนต์ทั่วไปจึงใช้สมมาตรนี้เพื่อบีบอัด ความเค้นและความเครียดเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ และ เทนเซอร์ความยืดหยุ่นอันดับสี่เป็นเมทริกซ์สองมิติ วิธีนี้เรียกว่าสัญกรณ์ Voigt

ต่อจากนี้ การแทนปริมาณเทนเซอร์ \(\boldsymbol{A}\) ในรูปเมทริกซ์หรือเวกเตอร์จะแทนด้วย \(\hat{A}\) เพื่อแยกจากเทนเซอร์เดิม

การแทนความเค้นและความเครียดด้วยเวกเตอร์¶

สำหรับเทนเซอร์ความเค้นสมมาตร \(\boldsymbol{\sigma}\) และเทนเซอร์ความเครียด \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ในสองมิติ

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

ในสามมิติ

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

จะจัดการเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ดังที่แสดงข้างต้น กฎเดียวกันนี้ใช้กับปริมาณที่ได้จากการแปรผันและดิฟเฟอเรนเชียลด้วย โปรดสังเกตว่า องค์ประกอบเฉือนฝั่งความเครียดมีตัวประกอบ 2 (ฝั่งความเค้นไม่มี) ด้วยความไม่สมมาตรนี้ ผลคูณภายในของเทนเซอร์จึงเขียนอย่างกระชับเป็นผลคูณภายในของเวกเตอร์ได้ดังนี้

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

ในการใช้งานจริง ตัวประกอบ 2 ขององค์ประกอบความเครียดเฉือนเป็นจุดที่เกิดข้อผิดพลาดได้ง่าย จึงต้องจำข้อตกลงว่า “ไม่มีในความเค้น / มีในความเครียด” ไว้เสมอ สัญกรณ์ Voigt แบบเดียวกันนี้ใช้กับปริมาณในคอนฟิกูเรชันอ้างอิงด้วย (ความเค้น Piola-Kirchhoff ลำดับที่สอง \(\boldsymbol{S}\) และความเครียด Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\))

การแทนเทนเซอร์อันดับสี่ด้วยเมทริกซ์¶

สำหรับความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างความเค้นและความเครียด \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (ในรูปองค์ประกอบคือ \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) เมื่อใช้สมมาตรของ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) จะได้

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

ในสามมิติ เมื่อจัด \(\tilde{C}\) เป็นเมทริกซ์วัสดุ 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\) ความสัมพันธ์เทนเซอร์เดิมสามารถเขียนเป็น

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

ต่อจากนี้ในคู่มือนี้ หากไม่ได้ระบุเป็นอย่างอื่น เมทริกซ์วัสดุจะแทนด้วย \(D\) (หรือ \(\hat{C}\)) สำหรับองค์ประกอบเฉพาะของความยืดหยุ่นเชิงเส้นแบบไอโซทรอปิก โปรดดู ความยืดหยุ่นเชิงเส้น

ข้อตกลงของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์¶

ตัวดำเนินการเกรเดียนต์สมมาตร¶

ตัวดำเนินการเกรเดียนต์สมมาตร \(\nabla_S\) สำหรับสนามเวกเตอร์ \(\boldsymbol{u}\) นิยามเป็น

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

ในรูปองค์ประกอบ \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\) ความเครียดสำหรับการเสียรูปขนาดเล็ก \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) สามารถเขียนอย่างกระชับด้วยตัวดำเนินการนี้ ส่วนความแตกต่างของคอนฟิกูเรชัน (อ้างอิง/ปัจจุบัน) ที่ใช้หาเกรเดียนต์ในการเสียรูปขนาดใหญ่ อธิบายใน การเคลื่อนที่ การเสียรูป และความเครียด

อนุพันธ์ตามเวลาของวัสดุ¶

อนุพันธ์ตามเวลาของวัสดุของปริมาณ \(A\) (อนุพันธ์เวลาที่ติดตามจุดวัสดุเดียวกัน) แทนด้วยจุดกำกับด้านบน \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

ความเร็วและความเร่งใช้ข้อตกลงเดียวกันนี้

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง¶

การเคลื่อนที่ การเสียรูป และความเครียด — แนวคิดของคอนฟิกูเรชันอ้างอิง/ปัจจุบัน และข้อตกลงสัญกรณ์ที่ขึ้นกับคอนฟิกูเรชัน (พิมพ์ใหญ่/พิมพ์เล็ก, อนุพันธ์เชิงวัสดุ/เชิงพื้นที่)
ความเค้นและกฎการอนุรักษ์ — การหาอนุพันธ์ของสมการควบคุมโดยใช้สัญกรณ์นี้
หลักงานเสมือน — การใช้รูปแบบอ่อนและสัญกรณ์ Voigt
ความยืดหยุ่นเชิงเส้น — รูปเฉพาะของเมทริกซ์วัสดุ \(D\)
ฟังก์ชันรูปร่างและการประมาณด้วยไฟไนต์เอลิเมนต์ — การคำนวณสติฟเนสของเอลิเมนต์โดยใช้สัญกรณ์ Voigt