สมการการนำความร้อน¶

บทนี้สรุปสมการควบคุมของการนำความร้อนที่ FrontISTR ใช้ในระดับต่อเนื่อง รวมถึงเงื่อนไขขอบเขต การทำให้เวลาเป็นดิสครีตและการทำให้เป็นดิสครีตด้วย FEM กล่าวถึงในส่วนการทำให้เป็นดิสครีต (L3d) และส่วนอัลกอริทึมการแก้ (L3e: solution_methods/05_transient_heat)

สมการควบคุม¶

สมการการนำความร้อนในตัวกลางต่อเนื่องเขียนได้ดังนี้

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

ในที่นี้ \(\rho=\rho(x)\) คือความหนาแน่นมวล, \(c=c(x,T)\) คือความร้อนจำเพาะ, \(T=T(x,t)\) คืออุณหภูมิ, \(k=k(x,T)\) คือสภาพนำความร้อน, \(Q=Q(x,T,t)\) คือการเกิดความร้อน, \(x\) คือตำแหน่ง และ \(t\) คือเวลา ส่วน \(k_x, k_y, k_z\) คือสภาพนำความร้อนในแต่ละทิศทางสำหรับการนำความร้อนแบบแอนไอโซทรอปิก

สำหรับสมบัติทางความร้อนโดยละเอียด รวมถึงการขึ้นกับอุณหภูมิและแอนไอโซทรอปี โปรดดู สมบัติทางความร้อน

เงื่อนไขขอบเขต¶

ให้โดเมนที่พิจารณาเป็น \(S\) และขอบเขตเป็น \(\Gamma\) โดยสมมติว่าทุกจุดบน \(\Gamma\) ถูกกำหนดเงื่อนไขขอบเขตแบบ Dirichlet หรือแบบ Neumann เงื่อนไขขอบเขตเขียนได้ดังนี้

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

ในที่นี้ถือว่าทราบรูปฟังก์ชันของ \(T_1\) และ \(q\) แล้ว โดย \(q\) คือฟลักซ์ความร้อนที่ออกจากขอบเขต ฟลักซ์ความร้อนที่ขอบเขต \(q\) ประกอบด้วยองค์ประกอบสามส่วนดังต่อไปนี้

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

ในที่นี้ \(q_s\) คือฟลักซ์ความร้อนแบบกระจาย, \(q_c\) คือฟลักซ์ความร้อนจากการถ่ายเทความร้อนแบบพาความร้อน และ \(q_r\) คือฟลักซ์ความร้อนจากการถ่ายเทความร้อนด้วยการแผ่รังสี

ในที่นี้ \(Tc=Tc(x,t)\) คืออุณหภูมิแวดล้อมสำหรับการถ่ายเทความร้อนแบบพา, \(hc=hc(x,t)\) คือสัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อนแบบพา, \(Tr=Tr(x,t)\) คืออุณหภูมิแวดล้อมสำหรับการแผ่รังสี, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) คือสัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อนด้วยการแผ่รังสี, \(\varepsilon\) คือสภาพเปล่งรังสี, \(\sigma\) คือค่าคงที่ Stefan-Boltzmann และ \(F\) คือแฟกเตอร์การมองเห็น

สำหรับวิธีกำหนดเงื่อนไขเหล่านี้ในไฟล์อินพุต โปรดดู เงื่อนไขขอบเขตและโหลด ในส่วนอ้างอิงฟังก์ชัน

รูปแบบอ่อน¶

การเชื่อมโยงกับการวิเคราะห์โครงสร้าง¶

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง¶

การนำความร้อนแบบไม่คงตัว — การทำให้เวลาเป็นดิสครีตและการวนซ้ำแบบไม่เชิงเส้น
สมบัติทางความร้อน — การกำหนดสมบัติวัสดุและการขึ้นกับอุณหภูมิ
ฟังก์ชันรูปร่างและการประมาณด้วยไฟไนต์เอลิเมนต์ — กรอบการทำให้เป็นดิสครีตด้วย FEM
อ้างอิงฟังก์ชัน: เงื่อนไขขอบเขตและโหลด — การกำหนดเงื่อนไขขอบเขตสำหรับการวิเคราะห์การนำความร้อน