กรอบการวิเคราะห์แบบเพิ่มค่า¶

ความจำเป็นของการวิเคราะห์แบบเพิ่มค่า¶

ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้า ในการวิเคราะห์ปัญหาการเสียรูปขนาดเล็ก สามารถดำเนินการวิเคราะห์ไฟไนต์เอลิเมนต์ได้โดยใช้หลักงานเสมือนซึ่งสมมูลกับสมการพื้นฐาน เช่น สมการสมดุล แล้วทำการดิสครีไทซ์สมการดังกล่าวด้วยไฟไนต์เอลิเมนต์ สำหรับการวิเคราะห์ปัญหาการเสียรูปจำกัดซึ่งพิจารณาการเสียรูปขนาดใหญ่ของโครงสร้าง โดยพื้นฐานก็ใช้หลักงานเสมือนเช่นเดียวกัน

อย่างไรก็ตาม ในปัญหาการเสียรูปจำกัด แม้จะสมมติให้วัสดุมีพฤติกรรมเชิงเส้น สมการหลักงานเสมือนก็ยังเป็นสมการไม่เชิงเส้นเมื่อพิจารณาในรูปการกระจัด โดยทั่วไป การแก้สมการไม่เชิงเส้นจะใช้การคำนวณซ้ำด้วยวิธีวนซ้ำ

ในการคำนวณซ้ำดังกล่าว จะใช้วิธีวิเคราะห์แบบเพิ่มค่า โดยแบ่งการคำนวณเป็นช่วงสำหรับการเพิ่มภาระขนาดเล็กแต่ละครั้ง แล้วสะสมผลจนถึงสภาวะการเสียรูปสุดท้าย เมื่อสมมติเป็นปัญหาการเสียรูปขนาดเล็ก โดยทั่วไปไม่จำเป็นต้องแยกแยะคอนฟิกูเรชันที่ใช้กำหนดความเครียดและความเค้นระหว่างก่อนและหลังการเสียรูป กล่าวคือ ภายใต้สมมติฐานการเสียรูปขนาดเล็ก การเขียนสมการพื้นฐานบนคอนฟิกูเรชันก่อนหรือหลังการเสียรูปไม่ก่อให้เกิดปัญหา

สำหรับปัญหาการเสียรูปจำกัด การกำหนดรูปแบบของการวิเคราะห์แบบเพิ่มค่าจะแตกต่างกันตามการเลือกคอนฟิกูเรชันอ้างอิง ว่าจะใช้คอนฟิกูเรชันเริ่มต้นหรือคอนฟิกูเรชัน ณ จุดเริ่มต้นของช่วงเพิ่มค่า วิธีแรกเรียกว่า total Lagrange และวิธีหลังเรียกว่า updated Lagrange สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูเอกสารอ้างอิงท้ายบท เป็นต้น

สมการตั้งต้น: หลักงานเสมือน ณ เวลา \(t'\)¶

สมมติการวิเคราะห์แบบเพิ่มค่าที่สภาวะจนถึงเวลา \(t\) เป็นค่าที่ทราบ และสภาวะ ณ เวลา \(t' = t + \Delta t\) เป็นค่าที่ไม่ทราบ (ดูรูป 2.2.1) สมการสมดุล เงื่อนไขขอบเขต และหลักงานเสมือน ณ เวลา \(t'\) (เขียนบนคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน โดยใช้ความเค้น Cauchy \(^{t'}\sigma\) และส่วนเชิงเส้นของความเครียด Almansi \(^{t'} A_{(L)}\)) เป็นไปตามที่ให้ไว้ใน หลักงานเสมือน

รูป 2.2.1 แนวคิดของการวิเคราะห์แบบเพิ่มค่า

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากสมการตั้งต้นนี้เขียนบนคอนฟิกูเรชัน (ที่ยังไม่ทราบ) ณ เวลา \(t'\) ในการแก้จริงจึงต้องเลือกคอนฟิกูเรชันอ้างอิงใหม่เป็นคอนฟิกูเรชันเริ่มต้น \(V\) ณ เวลา \(0\) หรือคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน \(^{t'} v\) ณ เวลา \(t\) แล้วเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปเพิ่มค่าก่อนแก้:

• วิธี Total Lagrange — อ้างอิงคอนฟิกูเรชันเริ่มต้น \(V\) และใช้ความเค้น PK ลำดับที่ 2 \(\boldsymbol{S}\) กับความเครียด Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)
• วิธี Updated Lagrange — อ้างอิงคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน \(^{t}v\) ณ จุดเริ่มต้นของช่วงเพิ่มค่า และใช้ความเค้น Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) กับส่วนเชิงเส้นของความเครียด Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\)

สำหรับการดิสครีไทซ์เชิงพื้นที่ของทั้งสองวิธี (เมทริกซ์ B และเวกเตอร์แรงภายใน) ดู การดิสครีไทซ์งานเสมือนของแรงภายใน และสำหรับการทำให้เป็นเชิงเส้นกับการสร้างความแข็งสัมผัส ดู เมทริกซ์ความแข็งสัมผัส

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง¶

• หลักงานเสมือน — สมการตั้งต้นหลัก (รูปแบบอ่อนบนคอนฟิกูเรชันปัจจุบันและคอนฟิกูเรชันเริ่มต้น)
• การดิสครีไทซ์งานเสมือนของแรงภายใน — เมทริกซ์ B และเวกเตอร์แรงภายในของ TL/UL
• เมทริกซ์ความแข็งสัมผัส — \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\) ที่ได้จากการทำให้เป็นเชิงเส้น
• วิธี Newton-Raphson — อัลกอริทึมการวนซ้ำ