ข้ามไปที่เนื้อหา

หลักงานเสมือน

จากสมการสมดุลและเงื่อนไขขอบเขตที่ได้ใน ความเค้นและกฎการอนุรักษ์ จะหา หลักงานเสมือน ซึ่งเป็นรูปแบบอ่อนของปัญหาค่าขอบเขตในกลศาสตร์ตัวกลางต่อเนื่อง การทำให้เป็นดิสครีตด้วยไฟไนต์เอลิเมนต์เริ่มต้นจากรูปแบบอ่อนนี้ บทนี้นำเสนอทั้งรูปในคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน (ใช้ความเค้น Cauchy และส่วนเชิงเส้นของความเครียด Almansi) และรูปในคอนฟิกูเรชันอ้างอิง (ใช้ความเค้น Piola-Kirchhoff ลำดับที่สองและความเครียด Green-Lagrange) แสดงความเท่าเทียมกันของทั้งสอง และตรวจสอบการลดรูปสู่การเสียรูปขนาดเล็ก

สมการสมดุลและเงื่อนไขขอบเขต

ให้ \(\boldsymbol{g}\) เป็นแรงปริมาตรต่อหน่วยมวลที่กระทำกับตัวกลางต่อเนื่อง และพิจารณาวัตถุที่ครอบครองโดเมน \(\Omega\) ในคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน ขอบเขต \(\Gamma\) แบ่งเป็นขอบเขตเชิงเรขาคณิต \(\Gamma_B\) ซึ่งกำหนดการกระจัดเป็น \(\bar{\boldsymbol{u}}\) และขอบเขตเชิงกล \(\Gamma_t\) ซึ่งกำหนดแรงฉุดเป็น \(\bar{\boldsymbol{t}}\) โดย \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) และ \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\) สำหรับปัญหาสถิต สมการสมดุลได้จากการละพจน์ความเฉื่อยในกฎอนุรักษ์โมเมนตัมที่แสดงใน ความเค้นและกฎการอนุรักษ์:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

เงื่อนไขขอบเขตคือ

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

ต่อจากนี้จะหาหลักงานเสมือนเป็นรูปแบบอ่อนของสมการสมดุลและเงื่อนไขขอบเขตเชิงกล \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) ส่วนเงื่อนไขขอบเขตเชิงเรขาคณิต \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) จะรวมเข้าโดยการเลือกฟังก์ชันทดสอบ

รูปแบบอ่อนในคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน

ในรูปแบบอ่อน กำหนดปริภูมิที่ยอมรับได้สำหรับการกระจัดไม่ทราบค่าและปริภูมิฟังก์ชันทดสอบตามลำดับเป็น

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

ในที่นี้ \(d\) คือมิติเชิงพื้นที่, \(H^1(\Omega)\) คือปริภูมิ Sobolev ของฟังก์ชันที่อินทิเกรตกำลังสองได้พร้อมกับอนุพันธ์อ่อนอันดับหนึ่ง และ \(\delta\) หมายถึงการแปรผัน ในการแทนด้วยคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน \(\Omega\) คือคอนฟิกูเรชันที่เสียรูปแล้ว ส่วนในการแก้เชิงตัวเลขจริงจะดึงกลับไปยังคอนฟิกูเรชันอ้างอิงหรือคอนฟิกูเรชันกลางที่ทราบแล้ว

เมื่อคูณสมการสมดุลด้วยน้ำหนัก \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) และใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ของ Gauss กับเงื่อนไขขอบเขตเชิงกล จะได้หลักงานเสมือนในคอนฟิกูเรชันปัจจุบันดังนี้

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

ในที่นี้ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) คือ ส่วนเชิงเส้นของเทนเซอร์ความเครียด Almansi นิยามเป็น

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

การแปรผันคือ \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) ดังนั้นเราหา \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) ที่ทำให้สมการงานเสมือนเป็นจริงสำหรับทุก \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ด้านซ้ายคือ งานเสมือนของแรงภายใน ส่วนด้านขวาคืองานเสมือนของแรงภายนอกจากแรงฉุดที่กำหนดและแรงปริมาตร

เนื่องจากสมการนี้เขียนบนโดเมนที่เสียรูปแล้ว (คอนฟิกูเรชันปัจจุบัน) ขั้นตอนการแก้จริงจะเลือกคอนฟิกูเรชันเริ่มต้น \(\Omega_0\) (คอนฟิกูเรชันอ้างอิง) หรือคอนฟิกูเรชันกลางที่ทราบแล้วเป็นคอนฟิกูเรชันอ้างอิงใหม่ เขียนสมการเป็นรูปเพิ่ม แล้วจึงแก้ สำหรับการเลือกคอนฟิกูเรชันอ้างอิงโดยเฉพาะ (Total Lagrange / Updated Lagrange) และการแยกส่วนเพิ่ม โปรดดู กรอบการวิเคราะห์แบบเพิ่ม

รูปแบบอ่อนในคอนฟิกูเรชันเริ่มต้น

พิจารณาวัตถุที่ครอบครองโดเมน \(\Omega_0\) ในคอนฟิกูเรชันอ้างอิง โดยขอบเขต \(\Gamma_0\) แบ่งเป็น \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) เมื่อดึงการแทนในคอนฟิกูเรชันปัจจุบันกลับไปยังคอนฟิกูเรชันอ้างอิง จะได้คู่คอนจูเกตความเค้น-ความเครียดของความเค้น Piola-Kirchhoff ลำดับที่สอง \(\boldsymbol{S}\) และความเครียด Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) ดังนั้นหลักงานเสมือนในคอนฟิกูเรชันเริ่มต้นคือ

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

ในที่นี้ \(\rho_0\) คือความหนาแน่นมวลในคอนฟิกูเรชันอ้างอิง และจากความสัมพันธ์อนุรักษ์มวล \(\rho_0 = J\rho\) รูปนี้จึงเทียบเท่ากับการแทนแรงปริมาตรในคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน

ความเท่าเทียมของการแทนในคอนฟิกูเรชันปัจจุบันและเริ่มต้น

งานเสมือนของแรงภายในในสองการแทนมีค่าเท่ากันผ่านการแปลงด้วยเกรเดียนต์การเสียรูป \(\boldsymbol{F}\) และอัตราส่วนปริมาตร \(J = \det \boldsymbol{F}\) กล่าวคือ

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

พจน์แรงภายนอกก็เท่าเทียมกันจากการอนุรักษ์มวลและการแปลงแรงฉุด ดังนั้น สมการงานเสมือนในคอนฟิกูเรชันปัจจุบันและในคอนฟิกูเรชันเริ่มต้นจึงแสดงหลักเดียวกันในคอนฟิกูเรชันต่างกัน วิธีแก้ที่อ้างอิงคอนฟิกูเรชันอ้างอิงสอดคล้องกับวิธี Total Lagrange ส่วนวิธีแก้ที่อ้างอิงคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน (คอนฟิกูเรชันที่ลู่เข้าก่อนหน้าทันที) สอดคล้องกับวิธี Updated Lagrange

การลดรูปสู่การเสียรูปขนาดเล็ก

ภายใต้สมมติฐานการเสียรูปขนาดเล็ก \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) และ \(J \approx 1\) ความแตกต่างระหว่างคอนฟิกูเรชันปัจจุบันและอ้างอิงจะหายไป ความเค้น PK ลำดับที่สองจะตรงกับความเค้น Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)) และทั้งความเครียด Green-Lagrange กับส่วนเชิงเส้นของความเครียด Almansi จะลดรูปเป็นความเครียดขนาดเล็ก \(\boldsymbol{\varepsilon}\)

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

จากนั้นหลักงานเสมือนจะลดรูปเป็นรูปแบบอ่อนที่เขียนด้วยความเค้น Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) และความเครียดขนาดเล็ก \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

นี่คือรูปแบบอ่อนที่ใช้โดยตรงในการทำให้เป็นดิสครีตสำหรับการวิเคราะห์สถิตยืดหยุ่นเชิงเส้นแบบการเสียรูปขนาดเล็ก (การวิเคราะห์สถิตยืดหยุ่นเชิงเส้น (บทนำและภาคผนวก) เริ่มจากรูปนี้และแสดงการสร้างสติฟเนสเอลิเมนต์ \(\boldsymbol{K}^e\) ผ่านการประกอบสมการส่วนกลาง \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\))

เมื่อนำกฎองค์ประกอบยืดหยุ่นเชิงเส้น \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) มาแทน และเขียน \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ด้วย สัญกรณ์ Voigt รูปแบบอ่อนจะเป็น

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

ซึ่งมีรูปดังกล่าว

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status