ความเค้นและกฎอนุรักษ์¶

บทนี้สรุปนิยามและความสัมพันธ์ระหว่างเทนเซอร์ความเค้น ตลอดจนสมการสมดุลและสมมาตรของความเค้นที่ได้จากกฎอนุรักษ์มวล โมเมนตัม และโมเมนตัมเชิงมุม เทนเซอร์ความเค้น 3 ชนิด ได้แก่ ความเค้น Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), ความเค้น Piola-Kirchhoff ที่ 1 \(\boldsymbol{P}\) และความเค้น Piola-Kirchhoff ที่ 2 \(\boldsymbol{S}\) ถูกนำมาใช้ตามความแตกต่างของคอนฟิกูเรชันที่เลือกสำหรับพื้นผิวอ้างอิงและเวกเตอร์แรง สำหรับนิยามของคอนฟิกูเรชัน การเคลื่อนที่ และเกรเดียนต์การเสียรูป โปรดดู การเคลื่อนที่ การเสียรูป และความเครียด และสำหรับรายการสัญลักษณ์ โปรดดู รายการสัญลักษณ์ของปริมาณทางกายภาพ

เทนเซอร์ความเค้น Cauchy¶

ให้แรงที่กระทำบนพื้นผิวเล็กมาก (พื้นที่ \(d\Gamma\) และเวกเตอร์ปกติหนึ่งหน่วยชี้ออก \(\boldsymbol{n}\)) ณ จุด \(\boldsymbol{x}\) ในคอนฟิกูเรชันปัจจุบันเป็น \(d\boldsymbol{f}\) และนิยาม เวกเตอร์ความเค้น \(\boldsymbol{t}\) เป็นแรงต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ด้วย \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) โดย \(\boldsymbol{t}\) ขึ้นกับทั้งตำแหน่ง \(\boldsymbol{x}\) และเวกเตอร์ปกติ \(\boldsymbol{n}\) จากการใช้กฎอนุรักษ์โมเมนตัมกับเตตระฮีดรอนเล็กมาก \(\boldsymbol{t}\) จะเป็นเชิงเส้นต่อ \(\boldsymbol{n}\) และมีเทนเซอร์อันดับสอง \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) ซึ่งทำให้

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

เป็นจริงสำหรับ \(\boldsymbol{n}\) ใด ๆ (ทฤษฎีบทความเค้นของ Cauchy) เทนเซอร์ \(\boldsymbol{\sigma}\) นี้เรียกว่า เทนเซอร์ความเค้น Cauchy และเรียกอีกอย่างว่า ความเค้นจริง เนื่องจากหมายถึงแรงต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ที่อ้างอิงเรขาคณิตของคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน องค์ประกอบ \(\sigma_{ij}\) แทนองค์ประกอบแรงตามแกน \(x_i\) ต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ของพื้นผิวเล็กมากที่ตั้งฉากกับแกนพิกัด \(x_j\) ในคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน

จากกฎอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมที่จะกล่าวภายหลัง ความเค้น Cauchy เป็นเทนเซอร์สมมาตร

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

และในสามมิติมีองค์ประกอบอิสระ 6 องค์ประกอบ (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)) การทำให้ความเค้นเป็นเวกเตอร์ด้วยสัญกรณ์ Voigt ตั้งอยู่บนสมมาตรนี้ (โปรดดู สัญกรณ์เทนเซอร์และพื้นฐานทางคณิตศาสตร์) ความเค้น Cauchy ใช้เป็นเอาต์พุตความเค้นในการวิเคราะห์ไม่เชิงเส้นทางเรขาคณิตด้วยวิธี Updated Lagrange และในการวิเคราะห์การเสียรูปเล็กของ FrontISTR

ความเค้น Piola-Kirchhoff ที่ 1 และที่ 2¶

ในการเสียรูปขนาดใหญ่ หลายกรณีสะดวกกว่าที่จะแสดงความเค้นโดยใช้คอนฟิกูเรชันอ้างอิงเป็นพื้นผิวและเวกเตอร์อ้างอิง จึงนำ เทนเซอร์ความเค้น Piola-Kirchhoff สองชนิดมาใช้ ให้พื้นที่ของพื้นผิวเล็กมากในคอนฟิกูเรชันอ้างอิงเป็น \(d\Gamma_0\) และเวกเตอร์ปกติหนึ่งหน่วยชี้ออกเป็น \(\boldsymbol{N}\)

ความเค้น Piola-Kirchhoff ที่ 1 (ความเค้น PK ที่ 1, ความเค้นนอมินัล) \(\boldsymbol{P}\) นิยามเป็นเทนเซอร์ความเค้นเมื่อแรง \(d\boldsymbol{f}\) ในคอนฟิกูเรชันปัจจุบันกระทำต่อพื้นผิวเล็กมากในคอนฟิกูเรชันอ้างอิง ดังนี้

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

จากสูตรของ Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) และทฤษฎีบทความเค้นของ Cauchy จะได้ความสัมพันธ์กับความเค้น Cauchy

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

โดยทั่วไปความเค้น PK ที่ 1 เป็นเทนเซอร์ไม่สมมาตร

ความเค้น Piola-Kirchhoff ที่ 2 (ความเค้น PK ที่ 2) \(\boldsymbol{S}\) นิยามเป็นเทนเซอร์ความเค้นเมื่อแรง \(d\boldsymbol{f}\) ในคอนฟิกูเรชันปัจจุบันถูกดึงกลับไปยังคอนฟิกูเรชันอ้างอิงด้วย \(\boldsymbol{F}^{-1}\) แล้วกระทำต่อพื้นผิวเล็กมากในคอนฟิกูเรชันอ้างอิง ดังนี้

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

ทั้งเวกเตอร์แรงและพื้นผิวที่แรงกระทำแสดงด้วยปริมาณในคอนฟิกูเรชันอ้างอิง เทนเซอร์นี้ไม่เปลี่ยนภายใต้การหมุนวัตถุแข็งและเป็นเทนเซอร์สมมาตร ความสัมพันธ์กับความเค้น PK ที่ 1 และสมการแปลงกับความเค้น Cauchy คือ

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

ความเค้น PK ที่ 2 ได้จากฟังก์ชันพลังงานความเครียดไฮเปอร์อิลาสติก \(W(\boldsymbol{C})\) เป็น \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) และในวิธี Total Lagrange ใช้เป็นคู่คอนจูเกตของความเค้นและความเครียด \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) ร่วมกับความเครียด Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)

คอนฟิกูเรชันอ้างอิงและสมมาตรสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้ ในขีดจำกัดของการเสียรูปเล็ก (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) ความเค้นทั้ง 3 ชนิดจะตรงกัน

เทนเซอร์ความเค้น	พื้นผิวอ้างอิง	เวกเตอร์แรง	สมมาตร	การใช้งาน
ความเค้น Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\)	คอนฟิกูเรชันปัจจุบัน \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	คอนฟิกูเรชันปัจจุบัน \(d\boldsymbol{f}\)	สมมาตร	วิธี Updated Lagrange และการวิเคราะห์การเสียรูปเล็ก
ความเค้น PK ที่ 1 \(\boldsymbol{P}\)	คอนฟิกูเรชันอ้างอิง \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	คอนฟิกูเรชันปัจจุบัน \(d\boldsymbol{f}\)	โดยทั่วไปไม่สมมาตร	สมการสมดุลในคอนฟิกูเรชันอ้างอิง
ความเค้น PK ที่ 2 \(\boldsymbol{S}\)	คอนฟิกูเรชันอ้างอิง \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	คอนฟิกูเรชันอ้างอิง \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	สมมาตร	วิธี Total Lagrange และไฮเปอร์อิลาสติก

กฎอนุรักษ์มวลและโมเมนตัมกับสมการสมดุล¶

ให้ความหนาแน่นมวลในคอนฟิกูเรชันปัจจุบันเป็น \(\rho\) และความหนาแน่นมวลในคอนฟิกูเรชันอ้างอิงเป็น \(\rho_0\) กฎอนุรักษ์มวล \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) เมื่อใช้การแปลงองค์ประกอบปริมาตร \(dv = J\, dV\) จะได้รูปเฉพาะที่

\[ \rho_0 = J \rho \]

ให้แรงวัตถุต่อหนึ่งหน่วยมวลเป็น \(\boldsymbol{g}\) และความเร่งเป็น \(\boldsymbol{a}\) เมื่อนำทฤษฎีบทความเค้นของ Cauchy และทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ของ Gauss ไปใช้กับกฎอนุรักษ์โมเมนตัม (กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 ของ Euler) จะได้ สมการสมดุล (สมการการเคลื่อนที่) ในรูปเฉพาะที่ของคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

เมื่อเขียนอินทิกรัลใหม่ในคอนฟิกูเรชันอ้างอิงด้วยสูตรของ Nanson และ \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) จะได้รูปเฉพาะที่ในคอนฟิกูเรชันอ้างอิง

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

ทั้งสองรูปเทียบเท่ากันด้วยกฎการแปลงความเค้นและ \(\rho_0 = J\rho\) เมื่อไม่พิจารณาพจน์ความเฉื่อย

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

จะได้สมการสมดุลสถิต ซึ่งเป็นสมการตั้งต้นของการวิเคราะห์สถิต (เชิงเส้นและไม่เชิงเส้น) ใน FrontISTR

กฎอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมและสมมาตรของความเค้น¶

เมื่อนำกฎอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม (กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของ Euler) มารวมกับสมการสมดุลจากกฎอนุรักษ์โมเมนตัม จะได้ สมมาตรของเทนเซอร์ความเค้น Cauchy

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ดังนั้นในสามมิติจึงประกอบด้วยองค์ประกอบอิสระ 6 องค์ประกอบ จากการทรานสโพสทั้งสองข้างของสมการแปลง \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) และความไม่เอกฐานของ \(\boldsymbol{F}\) จะได้ว่าความเค้น PK ที่ 2 ก็สมมาตรเช่นกัน

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

และประกอบด้วยองค์ประกอบอิสระ 6 องค์ประกอบ ในทางกลับกัน ความเค้น PK ที่ 1 \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) โดยทั่วไปไม่สมมาตร มีเพียงความสัมพันธ์ \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (กล่าวคือ \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) สมมาตร) เท่านั้น และมีองค์ประกอบอิสระ 9 องค์ประกอบ

สมมาตรเหล่านี้เป็นเงื่อนไขตั้งต้นของการแสดงความเค้นเป็นเวกเตอร์ 6 องค์ประกอบด้วยสัญกรณ์ Voigt สำหรับข้อกำหนดของสัญกรณ์ Voigt และการประกอบเมทริกซ์วัสดุ โปรดดู สัญกรณ์เทนเซอร์และพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ และ ความยืดหยุ่นเชิงเส้น