การเคลื่อนที่ การเสียรูป และความเครียด¶

คอนฟิกูเรชันอ้างอิงและคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน¶

นิยามของคอนฟิกูเรชัน¶

เพื่อแยกแยะว่าจะใช้อะไรเป็นรูปร่างอ้างอิงในการอธิบายปริมาณทางกายภาพ คู่มือนี้ใช้คอนฟิกูเรชันสองชนิด

คอนฟิกูเรชันอ้างอิง (reference configuration): รูปร่างก่อนการเสียรูปเมื่อเริ่มการวิเคราะห์ (เวลา \(0\)) หรือเรียกอีกอย่างว่า คอนฟิกูเรชันเริ่มต้น จุดในคอนฟิกูเรชันอ้างอิงแทนด้วย พิกัดวัสดุ \(\boldsymbol{X}\) ปริมาตรแทนด้วย \(V\) และพื้นผิวแทนด้วย \(S\)
คอนฟิกูเรชันปัจจุบัน (current configuration): รูปร่างหลังการเสียรูป ณ เวลา \(t\) จุดในคอนฟิกูเรชันปัจจุบันแทนด้วย พิกัดเชิงพื้นที่ \(\boldsymbol{x}\) ปริมาตรแทนด้วย \(v\) และพื้นผิวแทนด้วย \(s\)

การเคลื่อนที่แสดงเป็นการแมประหว่างคอนฟิกูเรชันทั้งสอง \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) และนิยามการกระจัดเป็น \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)

ข้อตกลงสัญกรณ์ที่ขึ้นกับคอนฟิกูเรชัน (ตัวพิมพ์ใหญ่/ตัวพิมพ์เล็ก)¶

ใช้ตัวพิมพ์ใหญ่และตัวพิมพ์เล็กเพื่อแยกว่าปริมาณทางกายภาพอยู่ในคอนฟิกูเรชันใด

ปริมาณที่อยู่ในคอนฟิกูเรชันอ้างอิงเขียนด้วย ตัวพิมพ์ใหญ่ (เช่น \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\))
ปริมาณที่อยู่ในคอนฟิกูเรชันปัจจุบันเขียนด้วย ตัวพิมพ์เล็ก (เช่น \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\))
ปริมาณที่เชื่อมโยงทั้งสองคอนฟิกูเรชัน เช่น ความเค้น Piola-Kirchhoff ลำดับที่หนึ่ง \(\boldsymbol{P}\) ใช้สัญกรณ์ตามธรรมเนียมและจะระบุไว้ในเนื้อหาตามความจำเป็น
ในทฤษฎีการเสียรูปขนาดเล็ก ความแตกต่างระหว่างสองคอนฟิกูเรชันหายไป จึงใช้เฉพาะตัวพิมพ์เล็ก (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\))

เกรเดียนต์ในคอนฟิกูเรชันอ้างอิงและคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน¶

สัญกรณ์และความหมายแตกต่างกันตามคอนฟิกูเรชันที่ใช้หาอนุพันธ์เชิงพื้นที่

เกรเดียนต์คอนฟิกูเรชันอ้างอิง \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): เกรเดียนต์ตามพิกัดวัสดุ ตัวอย่าง: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\)
เกรเดียนต์คอนฟิกูเรชันปัจจุบัน \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): เกรเดียนต์ตามพิกัดเชิงพื้นที่ ตัวอย่าง: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\)

ทั้งสองสัมพันธ์กันด้วย \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) สำหรับข้อตกลงของอนุพันธ์เวลา (อนุพันธ์ตามเวลาของวัสดุ \(\dot{(\cdot)}\)) โปรดดู สัญกรณ์เทนเซอร์และพื้นฐานทางคณิตศาสตร์

การอธิบายการเคลื่อนที่¶

การแมปการเคลื่อนที่และคำอธิบายเชิงวัสดุ/เชิงพื้นที่¶

เมื่อมองตัวกลางต่อเนื่องเป็นกลุ่มของจุดวัสดุที่ติดป้ายด้วยตำแหน่ง \(\boldsymbol{X}\) ณ เวลา \(0\) การเคลื่อนที่จะอธิบายด้วยการแมป \(\phi\) ที่เชื่อมจุดวัสดุ \(\boldsymbol{X}\) กับตำแหน่ง \(\boldsymbol{x}\) ของจุดนั้น ณ เวลา \(t\) ดังนี้

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

ภายใต้ข้อตกลงที่ใช้คอนฟิกูเรชันเริ่มต้นเป็นคอนฟิกูเรชันอ้างอิง จะได้ \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\)

แบ่งคำอธิบายออกเป็นสองแบบตามการเลือกตัวแปรอิสระ

คำอธิบายเชิงวัสดุ (Lagrange description): แสดงปริมาณทางกายภาพเป็นฟังก์ชันของ \((\boldsymbol{X}, t)\) ในกลศาสตร์ของแข็งเป็นตัวเลือกที่เป็นธรรมชาติ เพราะคอนฟิกูเรชันอ้างอิงถูกกำหนดเป็นรูปร่างคงที่
คำอธิบายเชิงพื้นที่ (Euler description): แสดงปริมาณทางกายภาพเป็นฟังก์ชันของ \((\boldsymbol{x}, t)\) และเป็นคำอธิบายมาตรฐานในกลศาสตร์ของไหล

การวิเคราะห์โครงสร้างของ FrontISTR มีพื้นฐานอยู่บนคำอธิบายเชิงวัสดุ แต่ในวิธี Updated Lagrange จะใช้คอนฟิกูเรชันปัจจุบันเป็นคอนฟิกูเรชันอ้างอิงใหม่ จึงใช้ปริมาณจากคำอธิบายเชิงพื้นที่ร่วมด้วย

การกระจัด ความเร็ว และความเร่ง¶

การกระจัด \(\boldsymbol{u}\) นิยามตามส่วนก่อนหน้าว่า \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) โดยไม่ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับขนาด จึงครอบคลุมการเสียรูปจำกัดด้วย เวกเตอร์ความเร็วและความเร่งกำหนดจากอนุพันธ์ตามเวลาของวัสดุของ \(\boldsymbol{u}\) โดยติดตามจุดวัสดุเดิม

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

เวกเตอร์ทั้งสองนิยามตามสมการข้างต้น

เกรเดียนต์การเสียรูปและเทนเซอร์การเสียรูป¶

เทนเซอร์เกรเดียนต์การเสียรูป¶

ปริมาณพื้นฐานในกลศาสตร์ตัวกลางต่อเนื่องสำหรับการเสียรูปจำกัดคือ เทนเซอร์เกรเดียนต์การเสียรูป \(\boldsymbol{F}\) ซึ่งเป็นการแมปเชิงเส้นจากส่วนเส้นเล็ก \(d\boldsymbol{X}\) ในคอนฟิกูเรชันอ้างอิงไปยังส่วนเส้นเล็ก \(d\boldsymbol{x}\) ในคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน และนิยามเป็นเกรเดียนต์ของการแมปการเคลื่อนที่ตามพิกัดวัสดุ

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

โดยมี \(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\) ในสภาวะไม่เสียรูปจะได้ \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) และ \(\boldsymbol{F}\) ถูกใช้อย่างกว้างขวางในการนิยามความเครียดและความเค้น รวมถึงการแปลงปริมาณทางกายภาพระหว่างคอนฟิกูเรชัน

อัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงปริมาตร¶

อัตราส่วนระหว่างปริมาตรเล็ก \(dV\) ในคอนฟิกูเรชันอ้างอิงกับปริมาตรเล็ก \(dv\) ในคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน เรียกว่า อัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงปริมาตร \(J\) และนิยามเป็น

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

สมมติ \(J > 0\) เพื่อให้ตัวกลางต่อเนื่องกลับด้านได้ และกฎอนุรักษ์มวลเขียนเป็น \(\rho_0 = J\rho\)

เทนเซอร์การเสียรูป Cauchy-Green ขวาและซ้าย¶

เนื่องจากเกรเดียนต์การเสียรูป \(\boldsymbol{F}\) รวมการหมุนแบบวัตถุแข็งอยู่ด้วย ตัววัดการเสียรูปจริงจึงใช้ปริมาณที่ตัดการหมุนแบบวัตถุแข็งออก โดยนิยาม เทนเซอร์การเสียรูป Cauchy-Green ขวา \(\boldsymbol{C}\) (คอนฟิกูเรชันอ้างอิง) และ เทนเซอร์การเสียรูป Cauchy-Green ซ้าย \(\boldsymbol{b}\) (คอนฟิกูเรชันปัจจุบัน) เป็น

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

ทั้งสองเป็นเทนเซอร์สมมาตรและมีค่าลักษณะเฉพาะเหมือนกัน (กำลังสองของอัตราส่วนการยืดหลัก) อินวาเรียนต์หลักของฟังก์ชันพลังงานความเครียดไฮเปอร์อิลาสติกเขียนโดยใช้เทนเซอร์เหล่านี้

เทนเซอร์ความเครียด¶

Green-Lagrange เทนเซอร์ความเครียด¶

สำหรับตัววัดความเครียดที่อ้างอิงคอนฟิกูเรชันอ้างอิง นิยาม เทนเซอร์ความเครียด Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) เป็น

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

เป็นเทนเซอร์สมมาตรที่แสดงการเปลี่ยนแปลงของผลคูณภายในระหว่างเวกเตอร์เล็กในคอนฟิกูเรชันอ้างอิง ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนแบบวัตถุแข็ง และมีค่า \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) ในสภาวะไม่เสียรูป เมื่อใช้ \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) จะได้

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

จึงเขียนเป็นผลรวมของพจน์อันดับหนึ่งและอันดับสองของเกรเดียนต์การกระจัด โดยพจน์อันดับสองแสดงความไม่เชิงเส้นทางเรขาคณิต ในวิธี Total Lagrange จะใช้เป็นคู่คอนจูเกตของงาน \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\)

Almansi เทนเซอร์ความเครียด¶

สำหรับตัววัดความเครียดที่อ้างอิงคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน นิยาม เทนเซอร์ความเครียด Almansi \(\boldsymbol{e}\) เป็น

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

และสัมพันธ์กับความเครียด Green-Lagrange ด้วย \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back)

เทนเซอร์ความเครียดขนาดเล็ก¶

เมื่อเกรเดียนต์การกระจัดมีขนาดเล็ก (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)) สามารถละเลยพจน์อันดับสองของความเครียด Green-Lagrange ได้ และความแตกต่างระหว่างสองคอนฟิกูเรชันก็หายไป จึงลดรูปเป็น เทนเซอร์ความเครียดขนาดเล็ก \(\boldsymbol{\varepsilon}\) โดยเขียนเกรเดียนต์ในพิกัดเชิงพื้นที่:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR ใช้ตัววัดความเครียดนี้ในการวิเคราะห์สถิตเชิงเส้น การวิเคราะห์ค่าลักษณะเฉพาะ การวิเคราะห์การตอบสนองความถี่ และการวิเคราะห์พลวัตเชิงเส้น สำหรับการวิเคราะห์การเสียรูปจำกัด วิธี Total Lagrange ใช้ \(\boldsymbol{E}\) ส่วนวิธี Updated Lagrange ใช้เทนเซอร์อัตราการเสียรูป \(\boldsymbol{D}\) ที่อ้างอิงคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน