สูตรองค์ประกอบสมรรถนะสูง¶

สูตรมาตรฐานแบบอาศัยการกระจัดที่แสดงใน สูตรองค์ประกอบโซลิดสามมิติ เมื่อใช้กับวัสดุเกือบไม่อัดตัวหรือโครงสร้างผนังบางที่การดัดครอบงำ อาจเกิดความแข็งเกินจริงที่เรียกว่าล็อกกิง (volume locking และ shear locking) เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ FrontISTR มีวิธี B-bar และ F-bar ที่แทนเฉพาะส่วนปริมาตรของเมทริกซ์ B หรือเกรเดียนต์การเสียรูป องค์ประกอบไม่เข้ากันที่เพิ่มองศาอิสระภายใน องค์ประกอบผสม u-p ที่ให้ความดันเป็นสนามไม่ทราบค่าอิสระ รวมถึงองค์ประกอบเชลล์ MITC และองค์ประกอบคานสำหรับโครงสร้างแผ่นและคาน

บทนี้สรุปสูตรขององค์ประกอบสมรรถนะสูงและองค์ประกอบโครงสร้างเหล่านี้เป็นรายองค์ประกอบ

วิธี B-bar¶

เมื่อใช้องค์ประกอบทรงหกหน้าเชิงเส้น 8 โหนดกับวัสดุเกือบไม่อัดตัว ความเครียดภายในองค์ประกอบอาจขัดกับข้อจำกัดปริมาตรคงที่และเกิดความแข็งเกินจริงที่เรียกว่า volume locking วิธี B-bar ลดข้อจำกัดที่มากเกินไปโดยแทนองค์ประกอบของเมทริกซ์ B ที่มีส่วนต่อการขยายปริมาตรด้วยค่าที่ประเมิน ณ ศูนย์กลางองค์ประกอบ [Hughes1980]

ให้เมทริกซ์ B ที่คำนวณจากอนุพันธ์เชิงพื้นที่ของฟังก์ชันรูปร่าง ณ ศูนย์กลางองค์ประกอบ \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) เป็น \(\bar{\boldsymbol{B}}\) และเมทริกซ์ B ปกติที่คำนวณ ณ จุดอินทิเกรต \(\boldsymbol{r}\) เป็น \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) ในความสัมพันธ์การกระจัด–ความเครียดสำหรับองศาอิสระ \(i\) ของโหนด \(\alpha\) สำหรับองค์ประกอบความเครียดเชิงปริมาตร \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) ให้เพิ่ม

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

และสำหรับองค์ประกอบเฉือน \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) ใช้ \(\boldsymbol{B}\) ปกติ จากนั้นประกอบความแข็งองค์ประกอบและเวกเตอร์แรงภายในด้วยเมทริกซ์ B-bar ที่ได้

FrontISTR จัดให้สูตรนี้เฉพาะสำหรับองค์ประกอบทรงหกหน้าเชิงเส้น 8 โหนด (องค์ประกอบ ID 361, ระบบหมายเลของค์ประกอบ) และใช้ได้กับการเสียรูปเล็ก วิธี Total Lagrange และ Updated Lagrange

วิธี F-bar¶

ภายใต้การเสียรูปจำกัด การเปลี่ยนแปลงปริมาตรมีผลแบบไม่เชิงเส้นผ่านเกรเดียนต์การเสียรูป \(\boldsymbol{F}\) ดังนั้นวิธี F-bar [deSouzaNeto1996] จึงใช้มาตรการป้องกัน volume locking เทียบเท่าวิธี B-bar ในระดับเกรเดียนต์การเสียรูป

ให้อัตราส่วนปริมาตรของเกรเดียนต์การเสียรูปที่ประเมิน ณ ศูนย์กลางองค์ประกอบ \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) เป็น \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) และอัตราส่วนปริมาตร ณ จุดอินทิเกรตเป็น \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) แล้วแทนเกรเดียนต์การเสียรูป ณ จุดอินทิเกรตด้วย

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

สมการดังกล่าว ทำให้ \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) และอัตราส่วนปริมาตรทั่วทั้งองค์ประกอบเท่ากับค่าที่ศูนย์กลางองค์ประกอบ ใช้ \(\bar{\boldsymbol{F}}\) หลังการแทนในการประเมินความเค้นและสร้างเมทริกซ์ความเครียด–การกระจัด และประกอบเมทริกซ์สัมผัสของความแข็งองค์ประกอบโดยรวมพจน์เพิ่มเติมจากการแทนนี้

FrontISTR ใช้วิธี F-bar เฉพาะกับองค์ประกอบทรงหกหน้าเชิงเส้น 8 โหนด และใช้ได้กับการเสียรูปเล็กและเรขาคณิตไม่เชิงเส้นทั้ง Total Lagrange / Updated Lagrange

องค์ประกอบไม่เข้ากัน¶

องค์ประกอบทรงหกหน้าเชิงเส้น 8 โหนดไม่มีองศาอิสระความเครียดที่จำเป็นสำหรับโหมดดัด จึงเกิด bending locking ในปัญหาที่การดัดครอบงำ องค์ประกอบไม่เข้ากัน [Taylor1976] เพิ่มโหมดการกระจัดภายในองค์ประกอบเพื่อชดเชยข้อบกพร่องนี้

นอกจากการกระจัดที่โหนดองค์ประกอบ \(\boldsymbol{u}^e\) แล้ว ยังเพิ่มองศาอิสระโหมดไม่เข้ากัน \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) ที่มีอยู่เฉพาะภายในองค์ประกอบ จำนวน 3 ทิศทาง × 3 โหมดต่อองค์ประกอบ และประมาณสนามการกระจัดเป็น

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

ฟังก์ชันรูปร่างแบบไม่เข้ากันสำหรับพิกัดธรรมชาติ \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) ให้เป็น \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\) แม้ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่รับประกันความต่อเนื่องที่ขอบเขตองค์ประกอบ แต่เพิ่มปริภูมิภายในองค์ประกอบที่สามารถสร้างความเครียดของโหมดดัดได้

ความแข็งองค์ประกอบถูกแบ่งบล็อกเป็นองศาอิสระภายนอก–ภายใน

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

หลังประกอบในรูปดังกล่าว ให้ทำ static condensation โดยกำจัดองศาอิสระภายในด้วย \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) เพื่อได้ความแข็งองค์ประกอบที่มีเฉพาะองศาอิสระภายนอก

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

แล้วส่งไปยังการประกอบรวม

FrontISTR ใช้องค์ประกอบไม่เข้ากันเฉพาะกับองค์ประกอบทรงหกหน้าเชิงเส้น 8 โหนด (C3D8IC) และใช้ได้กับการเสียรูปเล็ก วิธี Total Lagrange และ Updated Lagrange

องค์ประกอบผสม U-P¶

ขณะที่วิธี B-bar และ F-bar แก้ไของค์ประกอบเชิงปริมาตรภายในกรอบแบบอาศัยการกระจัด องค์ประกอบผสม u-p (U-P) เป็นสูตรผสม [Bathe1996] ที่นำความดัน \(\lambda\) มาเป็นสนามไม่ทราบค่าอิสระจากการกระจัด สำหรับวัสดุเกือบไม่อัดตัว (เช่น วัสดุคล้ายยางที่อัตราส่วน Poisson ใกล้ 0.5 มาก หรือโลหะหลังการเสียรูปพลาสติก) การพยายามบังคับเงื่อนไขปริมาตรคงที่ด้วยสนามการกระจัดเพียงอย่างเดียวทำให้เกิด volume locking แต่การให้ความดันเป็นตัวแปรอิสระช่วยผ่อนคลายข้อจำกัดนี้

แยกความเค้นเป็นองค์ประกอบเบี่ยงเบนและความดัน

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

โดย \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) คือเมทริกซ์ยืดหยุ่นเบี่ยงเบนซึ่งตัดส่วนปริมาตรที่แปรตาม bulk modulus \(K\) ออกจากเมทริกซ์ยืดหยุ่น ความดัน \(\lambda\) และความเครียดเชิงปริมาตร \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) เชื่อมกันด้วยเงื่อนไขข้อจำกัดผ่านค่าการอัดตัว \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

จากการดิสครีไทซ์ที่ให้การกระจัด \(\boldsymbol{u}\) และความดัน \(\lambda\) เป็นตัวไม่ทราบค่า จะได้ระบบสมการขององค์ประกอบ

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

โดย \(\mathbf{K}_{uu}\) ประกอบด้วยองค์ประกอบยืดหยุ่นเบี่ยงเบนและ (สำหรับการเสียรูปจำกัด) ความแข็งเชิงเรขาคณิต, \(\mathbf{K}_{up}\) คือเมทริกซ์ที่เชื่อมความเครียดเชิงปริมาตรกับความดัน และ \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) คือพจน์ทำให้เสถียรของความดัน (\(\boldsymbol{N}_p\) คือฟังก์ชันรูปร่างของความดัน) เนื่องจากองศาอิสระความดันปิดอยู่ภายในองค์ประกอบ จึง

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

ทำ static condensation ในรูปดังกล่าว และส่งความแข็งยังผลที่มีเฉพาะองศาอิสระภายนอก (การกระจัด) ไปยังการประกอบรวม

FrontISTR ใช้องค์ประกอบ U-P เฉพาะกับองค์ประกอบทรงหกหน้าเชิงเส้น 8 โหนด โดยมีองศาอิสระความดัน 1 ค่าในแต่ละองค์ประกอบ (คงที่ภายในองค์ประกอบ) ใช้ได้กับการเสียรูปเล็ก วิธี Total Lagrange และ Updated Lagrange โดยใน Updated Lagrange จะอัปเดตความเค้นเบี่ยงเบนด้วยอัตราความเค้นเชิงวัตถุวิสัย (แบบ Jaumann/Hughes-Winget) แล้วกำหนดความดัน \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) จากค่าที่หาได้ด้วย static condensation

องค์ประกอบเชลล์¶

สำหรับโครงสร้างแผ่นและเปลือกบาง ใช้องค์ประกอบเชลล์ตามทฤษฎีแผ่นเปลือก Reissner-Mindlin องค์ประกอบแผ่นเปลือกลำดับต่ำแบบอาศัยการกระจัดจะประเมินความเครียดเฉือนตามขวางสูงเกินไปเมื่อความหนาลดลง ด้วยกลไกคล้าย volume locking (shear locking) ทำให้ความแข็งต่อโหมดดัดเพิ่มขึ้นอย่างผิดปกติ วิธี MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] หลีกเลี่ยงปัญหานี้โดยสุ่มตัวอย่างใหม่เฉพาะองค์ประกอบความเครียดเฉือนที่จุด tying ที่กำหนดไว้ล่วงหน้าภายในองค์ประกอบ แล้วอินเตอร์โพเลตค่าตัวอย่างกลับทั่วองค์ประกอบ

โหนดขององค์ประกอบเชลล์ MITC เป็นโหนดผิวกลางบนพื้นผิวโค้ง แต่ละโหนดมี 6 องศาอิสระ ได้แก่ การเลื่อน 3 องค์ประกอบและการหมุนรอบแนวปกติของผิวกลาง 3 องค์ประกอบ ความแข็งองค์ประกอบประเมินด้วยการอินทิเกรต Gauss สามมิติรวมพิกัดธรรมชาติบนผิวกลางและทิศทางความหนา และกำหนดความหนาแผ่น \(h\) เป็นคุณสมบัติองค์ประกอบในการคำนวณสมการองค์ประกอบ

FrontISTR มี MITC3 (องค์ประกอบ ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743) ที่ใช้ผิวกลางชั้นเดียว และองค์ประกอบเชลล์แบบชั้น MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 โหนด, 3 องศาอิสระต่อโหนด) กับ MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 โหนด, 3 องศาอิสระต่อโหนด) ซึ่งวางโหนดสองชั้นในทิศทางผ่านความหนา สำหรับองค์ประกอบเชลล์แบบชั้น องศาอิสระที่โหนดมีเฉพาะการเลื่อน 3 องค์ประกอบ และแสดงโหมดดัดที่เทียบเท่าองศาอิสระการหมุนด้วยการจัดวางสองชั้น

องค์ประกอบคาน¶

สมาชิกเส้น เช่น คานหลักและโครงข้อแข็ง ถูกดิสครีไทซ์ด้วยองค์ประกอบคาน FrontISTR ใช้สูตรคาน Timoshenko ที่คำนึงถึงการเสียรูปเฉือน และอธิบายทั้งการดัดและการเฉือนเป็นฟังก์ชันขององศาอิสระการกระจัดและการหมุน

องศาอิสระที่โหนดขององค์ประกอบคานมี 6 ค่า ได้แก่ การเลื่อน 3 องค์ประกอบและการหมุนรอบแกนตามยาวและแกนขวางรวม 3 องค์ประกอบ ความแข็งองค์ประกอบประเมินด้วยการอินทิเกรตเชิงตัวเลขหนึ่งมิติตามแกนคาน พื้นที่หน้าตัด \(A\) และโมเมนต์อันดับสองของพื้นที่ \(I\) ในทิศทางดัดและบิดถูกกำหนดเป็นค่าคงที่หน้าตัดของคานในคุณสมบัติองค์ประกอบ และร่วมกับมอดูลัสยืดหยุ่นตามยาว \(E\) และมอดูลัสเฉือน \(G\) ของวัสดุเพื่อสร้างสัมประสิทธิ์ความแข็งสำหรับการยืด การดัด การบิด และการเฉือน

FrontISTR มีองค์ประกอบคานเส้นตรง 2 โหนด (องค์ประกอบ ID 611) และองค์ประกอบไฮบริดโซลิดเตตระฮีดรอน 4 โหนด–คานที่แทนด้วย 3 โหนด (641 สำหรับองศาอิสระผสม)

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง¶

สูตรองค์ประกอบโซลิดสามมิติ — เปรียบเทียบกับสูตรมาตรฐาน
ระบบหมายเลของค์ประกอบและไลบรารีฟังก์ชันรูปร่าง — ID ชนิดองค์ประกอบ
ไลบรารีองค์ประกอบ (ฟังก์ชัน) — แนวทางเลือกองค์ประกอบแต่ละชนิด