ข้ามไปที่เนื้อหา

ฟังก์ชันรูปร่างสำหรับเอลิเมนต์โซลิดสามมิติ

บทนี้สรุประบบพิกัดธรรมชาติและรูปแบบชัดแจ้งของฟังก์ชันรูปร่าง \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ที่แนะนำใน ฟังก์ชันรูปร่างและการประมาณด้วยไฟไนต์เอลิเมนต์ สำหรับเอลิเมนต์โซลิดสามมิติที่ FrontISTR ใช้ในการวิเคราะห์ตัวกลางต่อเนื่อง เอลิเมนต์ทั้งหกชนิดได้แก่ เตตระฮีดรอนอันดับหนึ่ง/สอง (341/342), ปริซึมสามเหลี่ยมอันดับหนึ่ง/สอง (351/352) และ เฮกซะฮีดรอนอันดับหนึ่ง/สอง (361/362) สำหรับลำดับโหนดและหมายเลขหน้าตามรูปแบบเมช HEC-MW โปรดดู ไลบรารีเอลิเมนต์ ในส่วนอ้างอิงฟังก์ชัน

ขั้นตอนการสร้างการอินทิเกรตของเอลิเมนต์จากฟังก์ชันรูปร่างเหล่านี้และดีเทอร์มิแนนต์จาโคเบียนเป็นไปตาม การอินทิเกรตเชิงตัวเลข ส่วนการกำหนดรูปแบบ B-bar, F-bar และ แบบอินคอมแพทิเบิลสำหรับ 361 รวมถึงฟังก์ชันรูปร่างของเอลิเมนต์คานและเชลล์ อธิบายใน การกำหนดรูปแบบเอลิเมนต์ขั้นสูง

ระบบพิกัดธรรมชาติและลำดับโหนดภายใน

ฟังก์ชันรูปร่างนิยามบนพิกัดธรรมชาติ \(\boldsymbol{r}\) ของแต่ละเอลิเมนต์ เอลิเมนต์โซลิดสามมิติใช้ระบบพิกัดธรรมชาติสามชนิดต่อไปนี้ตามรูปทรงของเอลิเมนต์

  • เฮกซะฮีดรอน (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\)
  • เตตระฮีดรอน (341/342): ใช้พิกัดปริมาตร \((L_1, L_2, L_3, L_4)\) โดย \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) และ \(L_i \ge 0\) เมื่อใช้ \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) เป็นตัวแปรอิสระ จะได้ \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\)
  • ปริซึมสามเหลี่ยม (351/352): รวมพิกัดปริมาตร \((\xi, \eta)\) ของสามเหลี่ยมฐาน (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) กับพิกัดตามแกน \(\zeta \in [-1, 1]\) เป็น \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) และใช้ปริมาณช่วย \(a = 1 - \xi - \eta\) เป็นพิกัดปริมาตรตัวที่สามบนฐาน

สำหรับเอลิเมนต์อันดับหนึ่ง หมายเลขโหนดของเอลิเมนต์เหมือนกันในรูปแบบอินพุต HEC-MW และรูปแบบภายใน แต่สำหรับเอลิเมนต์อันดับสอง ข้อตกลงการเรียงโหนดกึ่งกลางด้านจะแตกต่างกัน FrontISTR รับรูปแบบ HEC-MW เป็นอินพุต (เรียงโหนดมุมรอบเอลิเมนต์ก่อน แล้วตามด้วยโหนดกึ่งกลางด้านตามลำดับขอบ 1-2, 2-3, …) ขณะที่ฟังก์ชันรูปร่างในไลบรารีเอลิเมนต์ถูกใช้งานโดยสมมติลำดับโหนดอีกแบบหนึ่ง

ความแตกต่างระหว่างสองรูปแบบแก้ไขด้วย hecmw2fstr_mesh_conv ซึ่งถูกเรียกทันทีหลังอ่านเมชและทำการเรียงโหนดใหม่สำหรับแต่ละเอลิเมนต์ ในกลุ่มเอลิเมนต์โซลิดสามมิติ จะมีการแปลงสองชนิดต่อไปนี้

ชนิดเอลิเมนต์ ตารางแปลง คำอธิบาย
342 (เตตระฮีดรอนอันดับสอง) Table342 เรียงโหนด 10 โหนดใหม่เป็น \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (ปริซึมสามเหลี่ยมอันดับสอง) Table352 เรียงโหนด 15 โหนดใหม่เป็น \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

เนื่องจากการเรียงใหม่ทำโดยตรงกับอาร์เรย์ที่เก็บข้อมูลการเชื่อมต่อของเอลิเมนต์ การเรียกไลบรารีเอลิเมนต์หลังจากนั้นทั้งหมดจึงใช้ลำดับโหนดภายในของ FrontISTR สำหรับเฮกซะฮีดรอนอันดับสอง 362 ไม่มีตารางแปลง เพราะลำดับโหนดกึ่งกลางด้านของอินพุต HEC-MW และรูปแบบภายใน FrontISTR เหมือนกัน เมื่อส่งออกผลลัพธ์ การแปลงย้อนกลับ fstr2hecmw_mesh_conv จะคืนลำดับโหนดแบบ HEC-MW ก่อนเขียนไฟล์ ดังนั้นผู้ใช้เพียงต้องทราบรูปแบบ HEC-MW สำหรับทั้งอินพุตและเอาต์พุต หมายเลขโหนดในฟังก์ชันรูปร่างด้านล่างใช้รูปแบบภายใน FrontISTR หลังการแปลง

ฟังก์ชันรูปร่างสำหรับเอลิเมนต์อันดับหนึ่ง

สำหรับเอลิเมนต์เตตระฮีดรอน อันดับหนึ่ง (341) ฟังก์ชันรูปร่างก็คือพิกัดปริมาตรเอง:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

สำหรับเอลิเมนต์ปริซึมสามเหลี่ยม อันดับหนึ่ง (351) ฟังก์ชันรูปร่างเป็นผลคูณของฟังก์ชันรูปร่างเชิงเส้นของสามเหลี่ยมฐาน (\(a, \xi, \eta\)) กับฟังก์ชันรูปร่างเชิงเส้นตามแกน (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

สำหรับเอลิเมนต์เฮกซะฮีดรอน อันดับหนึ่ง (361) ฟังก์ชันรูปร่างเป็นผลคูณเทนเซอร์ของฟังก์ชันรูปร่างเชิงเส้นในสามทิศทางพิกัด:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

ในที่นี้ \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) คือค่าพิกัดธรรมชาติของโหนด \(\alpha\) (แต่ละองค์ประกอบเป็น \(\pm 1\))

ฟังก์ชันรูปร่างสำหรับเอลิเมนต์อันดับสอง

สำหรับเอลิเมนต์เตตระฮีดรอน อันดับสอง (342) ฟังก์ชันรูปร่างแบ่งเป็นโหนดมุมสี่โหนดและโหนดกึ่งกลางด้านหกโหนด:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

โหนดกึ่งกลางด้าน 5–10 ตรงกับจุดกึ่งกลางของขอบ 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 และ 3-4 ตามลำดับ

เอลิเมนต์ปริซึมสามเหลี่ยม อันดับสอง (352) ประกอบด้วยโหนดมุมหกโหนด โหนดกึ่งกลางด้านหกโหนดบนหน้าสามเหลี่ยม และโหนดกึ่งกลางด้านสามโหนดบนขอบตามแกน:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

โหนดกึ่งกลางด้าน 7–9 ตรงกับจุดกึ่งกลางขอบของสามเหลี่ยมล่าง (\(\zeta = -1\)), โหนด 10–12 ตรงกับจุดกึ่งกลางขอบของสามเหลี่ยมบน (\(\zeta = +1\)) และโหนด 13–15 ตรงกับจุดกึ่งกลางของขอบตามแกน

เอลิเมนต์เฮกซะฮีดรอน อันดับสอง (362) เป็นเอลิเมนต์ 20 โหนดในตระกูล Serendipity ให้ค่าพิกัดธรรมชาติของโหนด \(\alpha\) เป็น \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) สำหรับโหนดมุม (\(\alpha = 1, \ldots, 8\) โดยแต่ละองค์ประกอบเป็น \(\pm 1\))

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

สำหรับโหนดกึ่งกลางด้าน (\(\alpha = 9, \ldots, 20\) โดยพิกัดธรรมชาติหนึ่งในสามค่าเป็น \(0\) และอีกสองค่าเป็น \(\pm 1\)) โหนดที่ \(\xi_\alpha = 0\) (ขอบวางตัวตามทิศ \(\xi\)) มีรูป

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

โหนดกึ่งกลางด้านที่ขอบวางตัวตามแกน \(\eta\) หรือ \(\zeta\) เขียนได้ในลักษณะเดียวกัน โดยพิกัดธรรมชาติที่สอดคล้องกันจะถูกตัดออกด้วยพจน์กำลังสอง

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status