การอินทิเกรตเชิงตัวเลข¶

เวกเตอร์แรงภายในองค์ประกอบ \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) และเมทริกซ์ความแข็งองค์ประกอบ \(\boldsymbol{K}^e\) ที่ได้จากการดิสครีไทซ์งานเสมือนของแรงภายในและงานเสมือนของแรงภายนอกและการประกอบสมการรวม อยู่ในรูปอินทิกรัลเหนือโดเมนองค์ประกอบ \(\Omega^e\) หรือ \(\Omega^e_0\) FrontISTR ประเมินค่าเหล่านี้เชิงตัวเลขด้วยสูตรอินทิเกรต Gauss

สูตรอินทิเกรต Gauss และการเปลี่ยนตัวแปร¶

สูตรอินทิเกรต Gauss ประมาณอินทิกรัลเหนือโดเมนมาตรฐาน \(\Xi\) ด้วยผลรวมเชิงเส้นของค่าอินทิกรนด์ที่จุดอินทิเกรต \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) และน้ำหนัก \(w_i\) การนำไปใช้กับโดเมนองค์ประกอบ \(\Omega^e\) ต้องมีการเปลี่ยนตัวแปรผ่านแมปปิง \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) จึงได้

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

โดย \(n_q\) คือจำนวนจุดอินทิเกรต และ \(J_{\xi_i}\) คือดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนการแปลง โดเมนมาตรฐาน \(\Xi\) กำหนดตามชนิดองค์ประกอบ (ทรงหกหน้าใช้ \([-1,1]^3\) ส่วนสามเหลี่ยม ทรงสี่หน้า และลิ่มใช้รูปทรงอ้างอิงของแต่ละชนิด) จุดอินทิเกรต \(\boldsymbol{\xi}_i\) และน้ำหนัก \(w_i\) ให้มาเป็นตารางตัวเลข อินทิกรัลผิวก็จัดการในรูปเดียวกันโดยแมปหน้าขององค์ประกอบจากโดเมนมาตรฐานสองมิติ

จำนวนจุดอินทิเกรตที่เป็นตัวแทนซึ่ง FrontISTR ใช้แสดงไว้ด้านล่าง (สำหรับความสอดคล้องกับชนิดองค์ประกอบ ให้ดูระบบหมายเลของค์ประกอบและไลบรารีฟังก์ชันรูปร่าง)

ประเภทองค์ประกอบ	สูตรอินทิเกรต	จำนวนจุดอินทิเกรต
ทรงสี่หน้า 4 โหนด (`tet4n`)	สูตร 1 จุด	1
ทรงสี่หน้า 10 โหนด (`tet10n`)	สูตร 4 จุด	4
ปริซึมสามเหลี่ยม 6 โหนด (`prism6n`)	สูตร 2 จุด	2
ปริซึมสามเหลี่ยม 15 โหนด (`prism15n`)	สูตร 9 จุด	9
ทรงหกหน้า 8 โหนด (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
ทรงหกหน้า 20 โหนด (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
สี่เหลี่ยม 4 โหนด (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
สี่เหลี่ยม 8 โหนด (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
สามเหลี่ยม 3 โหนด (`tri3n`)	สูตร 1 จุด	1
สามเหลี่ยม 6 โหนด (`tri6n`)	สูตร 3 จุด	3

สำหรับองค์ประกอบทรงหกหน้า สี่เหลี่ยม และเส้น ใช้ผลคูณเทนเซอร์ของสูตร Gauss-Legendre ในแต่ละทิศแกน ส่วนสามเหลี่ยม ทรงสี่หน้า และปริซึมสามเหลี่ยม ใช้สูตรเฉพาะที่เหมาะกับรูปทรงซิมเพล็กซ์ (การจัดวางจุดที่อินทิเกรตพหุนามได้อย่างแม่นยำบนรูปสามเหลี่ยมเอง)

การประยุกต์กับอินทิกรัลขององค์ประกอบ¶

ในการอินทิเกรตองค์ประกอบ ใช้พิกัดธรรมชาติ \(\boldsymbol{r}\) เป็นพิกัดของโดเมนมาตรฐาน (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)) และแมปปิงไปยังพิกัดกายภาพกำหนดด้วยการอินเตอร์โพเลตพิกัดโหนดโดยฟังก์ชันรูปร่าง โดยเลือกใช้ดังต่อไปนี้ตามการเลือกสภาพอ้างอิง (กรอบการวิเคราะห์แบบเพิ่มค่า)

วิธี Total Lagrange (อินทิเกรตเหนือสภาพอ้างอิง \(\Omega^e_0\)): แมปปิงและจาโคเบียนเป็น

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

และประมาณแรงภายในองค์ประกอบกับเมทริกซ์ความแข็งเป็น

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

โดย \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) ทั้งหมดประเมินที่จุดอินทิเกรต \(\boldsymbol{r}_i\)

วิธี Updated Lagrange (อินทิเกรตเหนือสภาพปัจจุบัน \(\Omega^e\)): แมปปิงและจาโคเบียนเป็น

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

และ

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

ใช้เป็นค่าประมาณ

ความแตกต่างเพียงข้อเดียวระหว่างสองรูปแบบคือ พิกัดโหนดที่ป้อนให้แมปปิงเป็น \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) หรือ \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) ส่วนจุดอินทิเกรต น้ำหนัก และโครงสร้างลูปจุดอินทิเกรตใช้ร่วมกัน

การอินทิเกรตเต็มและการอินทิเกรตแบบลดอันดับ¶

การอินทิเกรตที่ใช้จำนวนจุดอินทิเกรตเพียงพอสำหรับอินทิเกรตอันดับพหุนามของอินทิกรนด์ได้อย่างแม่นยำ เรียกว่า การอินทิเกรตเต็ม ส่วนการอินทิเกรตที่ใช้จำนวนจุดอินทิเกรตน้อยลงหนึ่งระดับเรียกว่า การอินทิเกรตแบบลดอันดับ การอินทิเกรตแบบลดอันดับใช้เพื่อลดการล็อกเฉือนและการล็อกเชิงปริมาตร แต่ต้องจัดการกับโหมดการเสียรูปเทียม เช่น โหมด hourglass จำนวนจุดอินทิเกรตสำหรับแต่ละชนิดองค์ประกอบและการเลือกระหว่างการอินทิเกรตเต็ม/แบบลดอันดับกล่าวถึงในระบบหมายเลของค์ประกอบและไลบรารีฟังก์ชันรูปร่างและหัวข้อถัดไป รวมทั้งการกำหนดรูปองค์ประกอบสมรรถนะสูง

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง¶

อนุพันธ์เชิงพื้นที่ของฟังก์ชันรูปร่าง — การคำนวณจาโคเบียน
การดิสครีไทซ์งานเสมือนของแรงภายใน — ปริมาณที่ประเมินด้วยการอินทิเกรตเชิงตัวเลข
การกำหนดรูปองค์ประกอบสมรรถนะสูง — การใช้การอินทิเกรตแบบลดอันดับ