ข้ามไปที่เนื้อหา

งานเสมือนของแรงภายนอกและการประกอบสมการรวม

ใน การดิสครีไทซ์งานเสมือนของแรงภายใน ด้านซ้ายของรูปอ่อนถูกสรุปเป็นเวกเตอร์แรงภายในองค์ประกอบ \(\boldsymbol{q}^e\) (วิธี UL) หรือ \(\boldsymbol{Q}^e\) (วิธี TL) บทนี้จะนำเวกเตอร์แรงภายนอกที่โหนดขององค์ประกอบ \(\boldsymbol{F}^e\) จากงานเสมือนของแรงภายนอก และผ่านกระบวนการ ประกอบ ซึ่งจัดเรียงและรวมปริมาณที่โหนดขององค์ประกอบตามหมายเลขโหนดรวม เพื่อไปถึงระบบสมการไม่เชิงเส้นของการกระจัดที่โหนดซึ่งการวิเคราะห์โครงสร้างไม่เชิงเส้นของ FrontISTR ต้องแก้

การแยกงานเสมือนของแรงภายนอกเป็นรายองค์ประกอบ

ด้านขวาของ หลักงานเสมือน สามารถแยกเป็นรายองค์ประกอบในรูปงานเสมือนของแรงภายนอก ซึ่งประกอบด้วยแรงปริมาตร (แรงวัตถุ) และแรงผิวที่กำหนดบนขอบเขตเชิงกล เพื่อเขียนการอินเตอร์โพเลตการกระจัดที่นำมาใช้ใน ฟังก์ชันรูปร่างและการประมาณแบบไฟไนต์เอลิเมนต์ ในรูปเมทริกซ์ ให้ใช้บล็อก \(d \times d\) \(\boldsymbol{N}_\alpha\) ซึ่งวางฟังก์ชันรูปร่าง \(N_\alpha^e\) ของโหนด \(\alpha\) บนแนวทแยง และ \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) ซึ่งเรียงบล็อกเหล่านี้ในแนวนอน โดยให้ \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) เมื่อนำไปแทนในงานเสมือนของแรงภายนอกที่เขียนในคอนฟิกูเรชันอ้างอิง จะได้

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

โดยจัดเรียง เวกเตอร์แรงภายนอกที่โหนดขององค์ประกอบ เป็น \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) ด้วยเหตุนี้ งานเสมือนของแรงภายนอกจึงรวมให้อยู่ในรูป “เวกเตอร์ที่โหนดขององค์ประกอบ × ฟังก์ชันทดสอบ” เช่นเดียวกับด้านแรงภายใน (แม้เขียนในคอนฟิกูเรชันปัจจุบันก็ได้รูปเดียวกันโดยแทน \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\))

การประกอบปริมาณทางกายภาพที่โหนดขององค์ประกอบ

รวมปริมาณที่โหนด \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) ที่ได้จากแต่ละองค์ประกอบเข้าเป็นเวกเตอร์รวมที่จัดเรียงตามหมายเลขโหนดรวม ให้หมายเลขโหนดรวมที่สอดคล้องกับหมายเลขโหนดภายในองค์ประกอบ \(\alpha\) ขององค์ประกอบ \(\Omega^e\) เป็น

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

เมื่อเขียนดังนี้ ปริมาณที่โหนดขององค์ประกอบจะตรงกับองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของปริมาณที่โหนดรวม (เช่น \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)) โดยทั่วไปโหนด \(i_g\) ถูกใช้ร่วมกันโดยหลายองค์ประกอบ จึงนิยามเซตของคู่ \((e, \alpha)\) ที่มีหมายเลขโหนดรวมเป็น \(i_g\) ว่า

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

เมื่อใช้เซตนี้เขียนผลรวมใหม่เป็น \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) จะได้ แรงภายในที่โหนด และ เวกเตอร์แรงภายในรวม ครอบคลุมโหนดทั้งหมด \(n_g\)

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

โดย \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) เทียบเท่ากับแรงลัพธ์ของแรงภายในที่โหนดขององค์ประกอบซึ่งกระทำที่โหนด \(i_g\) และจะเป็น \(\boldsymbol{0}\) หากไม่มีแรงภายนอกและระบบอยู่ในสมดุล สำหรับวิธี UL ก็ได้ \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) ด้วยขั้นตอนเดียวกัน และเนื่องจากค่ามีความสัมพันธ์ \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) ต่อไปจะใช้ \(\boldsymbol{Q}\) เป็นหลักยกเว้นจุดที่จำเป็นต้องแยกความแตกต่าง เวกเตอร์แรงภายนอกรวม \(\boldsymbol{F}\) ก็ได้จากการรวมแบบเดียวกัน

ในการใช้งานจริงจะไม่สร้างเซต \(\mathcal{E}(i_g)\) อย่างชัดเจน แต่บวกค่าเข้าองค์ประกอบที่สอดคล้องกันภายในลูปองค์ประกอบ

กำหนดค่าเริ่มต้นเวกเตอร์แรงภายในรวม Q เป็น 0：Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (จำนวนองค์ประกอบ)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

เวกเตอร์แรงภายนอกรวม \(\boldsymbol{F}\) ก็สร้างด้วยขั้นตอนเดียวกัน การดำเนินการที่บวกและจัดเก็บปริมาณที่โหนดขององค์ประกอบลงในเวกเตอร์หรือเมทริกซ์ที่กำหนดหมายเลขด้วยหมายเลขโหนดรวมนี้เรียกว่า การประกอบ (assemble) สำหรับเทนเซอร์อันดับสองที่เกี่ยวกับหมายเลขโหนดสองหมายเลข (เช่น เมทริกซ์ความแข็ง) สามารถทำการประกอบชนิดเดียวกันโดยใช้เซต \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (ดูโครงสร้างโดยละเอียดที่ เมทริกซ์ความแข็งสัมผัส)

สมการไม่เชิงเส้นที่ต้องแก้

เมื่อนำผลการประกอบแรงภายในและแรงภายนอกแทนลงใน หลักงานเสมือน และเนื่องจากต้องเป็นจริงสำหรับฟังก์ชันทดสอบใด ๆ \(\delta\boldsymbol{u}^n\) ที่เป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขตเชิงเรขาคณิต จะได้

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

ในบริบทของการวิเคราะห์แบบเพิ่มค่า (กรอบการวิเคราะห์แบบเพิ่มค่า) เมื่อคืนดัชนีเวลา \(_{n+1}\) และละดัชนีบน \(^n\) ที่ใช้แสดงเวกเตอร์โหนดรวม สมการที่ต้องแก้คือ

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

ดังนั้น ปัญหาค่าขอบเขตที่ดิสครีไทซ์แล้วสำหรับหาการกระจัดที่โหนด \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) ณ เวลา \(t_{n+1}\) จึงลดรูปเป็นการแก้สมการไม่เชิงเส้นของการกระจัดนี้ร่วมกับเงื่อนไขขอบเขตเชิงเรขาคณิต การทำให้สมการเป็นเชิงเส้นและการสร้างเมทริกซ์ความแข็งสัมผัสดูที่ เมทริกซ์ความแข็งสัมผัส และวิธีวนซ้ำดูที่ วิธี Newton-Raphson

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status