การดิสครีไทซ์งานเสมือนของแรงภายใน¶

สมการงานเสมือน ณ เวลา \(t + \Delta t\) ที่แสดงในกรอบการวิเคราะห์แบบเพิ่มค่า แบ่งเป็นสองรูปแบบ คือวิธี Updated Lagrange และ Total Lagrange ตามการเลือกสภาพอ้างอิง ในบทนี้ ใช้การประมาณไฟไนต์เอลิเมนต์ที่แนะนำในฟังก์ชันรูปร่างและการประมาณด้วยไฟไนต์เอลิเมนต์ และอนุพันธ์เชิงพื้นที่ของฟังก์ชันรูปร่าง เพื่อดิสครีไทซ์เชิงพื้นที่ของงานเสมือนแรงภายในของทั้งสองรูปแบบ และได้เวกเตอร์แรงภายในองค์ประกอบ \(\boldsymbol{q}^e\) (วิธี UL) และ \(\boldsymbol{Q}^e\) (วิธี TL)

สำหรับองค์ประกอบ \(e\) ให้โหนดที่ประกอบกันเป็น \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) การกระจัดของโหนดเป็น \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) และเรียงเวกเตอร์การกระจัดโหนดขององค์ประกอบเป็น \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) ส่วนการกระจัดเสมือน \(\delta \boldsymbol{u}^e\) กำหนดด้วยลำดับเดียวกัน การกระจัดภายในองค์ประกอบถูกอินเตอร์โพเลตด้วยฟังก์ชันรูปร่างเป็น \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\)

งานเสมือนของแรงภายในในวิธี Updated Lagrange¶

ในวิธี Updated Lagrange ใช้สภาพปัจจุบัน \({}^{t}\Omega\) ณ เวลา \(t\) เป็นสภาพอ้างอิง และเขียนงานเสมือนของแรงภายในด้วยความเค้น Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) และส่วนเชิงเส้นของความเครียด Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) เป็น

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

แต่ละองค์ประกอบของ \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของอนุพันธ์ฟังก์ชันรูปร่าง \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) เทียบกับพิกัดสภาพปัจจุบัน \(\boldsymbol{x}\) และการกระจัดเสมือนที่โหนด \(\delta u^e_{i\alpha}\) และในสัญกรณ์ Voigt สามารถรวมเป็น

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

บล็อกโหนด \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) คือเมทริกซ์ \(6 \times 3\) ที่จัดวาง \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ตามกฎ Voigt และ \(\boldsymbol{B}_L\) เป็นเมทริกซ์ความสัมพันธ์ความเครียด-การกระจัดของวิธี UL เมื่อนำไปแทนในงานเสมือนของแรงภายในและแยก \(\delta \boldsymbol{u}^e\) จะได้

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

บล็อกโหนด \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) ของ \(\boldsymbol{q}^e\) คือแรงภายในขององค์ประกอบ \(\Omega^e\) ที่กระทำต่อโหนดองค์ประกอบ \(\alpha\)

งานเสมือนของแรงภายในในวิธี Total Lagrange¶

ในวิธี Total Lagrange ใช้สภาพเริ่มต้น \(\Omega_0\) เป็นสภาพอ้างอิง และเขียนด้วยความเค้น Piola-Kirchhoff อันดับที่ 2 \(\boldsymbol{S}\) และความเครียด Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) เป็น

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

โดย \(\delta \boldsymbol{E}\) แยกเป็นพจน์เชิงเส้นต่อการกระจัดเสมือน และพจน์ไม่เชิงเส้นที่มีผลคูณกับเกรเดียนต์การกระจัดปัจจุบัน \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

พจน์เชิงเส้นเขียนโดยใช้บล็อกโหนด \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) ซึ่งได้จากการใช้กฎการจัดเรียงเดียวกับวิธี UL กับ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) เป็น

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

(ต่างเพียงองค์ประกอบถูกแทนจาก \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) เป็น \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) เนื่องจากสภาพอ้างอิงต่างกัน และใช้สัญลักษณ์ร่วมกับวิธี UL) พจน์ไม่เชิงเส้นเขียนด้วยบล็อกโหนด \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) ที่จัดวางผลคูณของเกรเดียนต์การกระจัดปัจจุบัน \(\partial u_k/\partial X_j\) กับ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ตามกฎ Voigt เป็น

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

ดังนั้น \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) และ \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) เป็นเมทริกซ์ความสัมพันธ์ความเครียด-การกระจัดของวิธี TL เมื่อนำไปแทนในงานเสมือนของแรงภายใน จะได้

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

บล็อกโหนด \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) คือแรงภายในขององค์ประกอบ \(\Omega^e_0\) ที่กระทำต่อโหนดองค์ประกอบ \(\alpha\)

ความสอดคล้องระหว่าง UL/TL และลำดับการคำนวณ¶

เวกเตอร์แรงภายในองค์ประกอบของวิธี Updated Lagrange และ Total Lagrange มีความสอดคล้องดังต่อไปนี้

รายการ	วิธี Updated Lagrange	วิธี Total Lagrange
สภาพอ้างอิง	สภาพปัจจุบัน \({}^{t}\Omega^e\)	สภาพเริ่มต้น \(\Omega^e_0\)
เทนเซอร์ความเค้น	ความเค้น Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\)	ความเค้น PK อันดับที่ 2 \(\boldsymbol{S}\)
การแปรผันของความเครียด	\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)	\(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
เมทริกซ์ B	\(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\))	\(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
แรงภายในองค์ประกอบ	\(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\)	\(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

ทั้งสองแบบประมวลผลด้วยขั้นตอนเดียวกัน คือ “สร้าง \(\boldsymbol{B}_L\) จากอนุพันธ์เชิงพื้นที่ของฟังก์ชันรูปร่าง” “ในวิธี TL สร้างและบวก \(\boldsymbol{B}_{NL}\) จากเกรเดียนต์การกระจัดปัจจุบัน” “อัปเดตความเค้น (\(\boldsymbol{\sigma}\) หรือ \(\boldsymbol{S}\)) ตามกฎความสัมพันธ์เชิงสภาวะ” และ “อินทิเกรตเชิงตัวเลข \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) หรือ \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) เหนือโดเมนองค์ประกอบที่จุดอินทิเกรต (การอินทิเกรตเชิงตัวเลข)” นอกเหนือจากการสลับสภาพอ้างอิง (พิกัดโหนดและการสร้างเมทริกซ์ \(\boldsymbol{B}\)) และการแทนเทนเซอร์ความเค้น กระบวนการอื่นเหมือนกัน ดังนั้น FrontISTR จึงอิมพลีเมนต์การคำนวณแรงภายในของทั้งสองวิธีด้วยซับรูทีนร่วมกัน การประกอบเวกเตอร์แรงภายในองค์ประกอบ \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\) เป็นเวกเตอร์แรงภายในรวมกล่าวถึงในงานเสมือนของแรงภายนอกและการประกอบสมการรวม

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง¶

หลักงานเสมือน — สมการตั้งต้น
กรอบการวิเคราะห์แบบเพิ่มค่า — นิยามการแยกสาขา TL/UL
อนุพันธ์เชิงพื้นที่ของฟังก์ชันรูปร่าง — องค์ประกอบของเมทริกซ์ B
งานเสมือนของแรงภายนอกและการประกอบสมการรวม — ไปยังเวกเตอร์แรงภายในรวม
เมทริกซ์ความแข็งสัมผัส — การทำให้เป็นเชิงเส้นด้วยอนุพันธ์ตามเวลาของแรงภายใน
รายการสัญลักษณ์ของปริมาณทางกายภาพ