อีลาสโตพลาสติก¶

บทนี้อธิบายกรอบของกฎองค์ประกอบอีลาสโตพลาสติกที่ FrontISTR ใช้ สำหรับรายละเอียดการเลือกใช้และการระบุอินพุต โปรดดู 03_material ในส่วนฟังก์ชัน

ปรากฏการณ์ (การเสียรูปพลาสติก)¶

TBD (จะจัดทำเนื้อหาเต็มในระยะถัดไป)

กรอบของกฎองค์ประกอบ¶

FrontISTR ใช้สมการองค์ประกอบอีลาสโตพลาสติกตามกฎการไหลแบบ associated flow rule สมการองค์ประกอบดังกล่าวแสดงความสัมพันธ์ระหว่างอัตรา Jaumann ของความเค้น Kirchhoff กับเทนเซอร์อัตราการเสียรูป และการวิเคราะห์การเสียรูปใช้วิธี updated Lagrange

ให้เงื่อนไขครากของวัสดุอีลาสโตพลาสติกกำหนดดังต่อไปนี้

เงื่อนไขครากเริ่มต้น:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

เงื่อนไขครากภายหลัง:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

โดยที่

\(F\): ฟังก์ชันคราก
\(\sigma_{y_0}\): ความเค้นครากเริ่มต้น
\(\sigma_y\): ความเค้นครากภายหลัง
\(\sigma\): เทนเซอร์ความเค้น
\(e\): เทนเซอร์ความเครียดขนาดเล็ก
\(e^p\): เทนเซอร์ความเครียดพลาสติก
\(\overline{e}^p\): ความเครียดพลาสติกสมมูล

ให้ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นครากกับความเครียดพลาสติกสมมูลตรงกับความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นกับความเครียดพลาสติกในสภาวะแกนเดียว

ความสัมพันธ์ความเค้น-ความเครียดพลาสติกในสภาวะแกนเดียว

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

โดยที่ \(H'\) คือสัมประสิทธิ์การแข็งตัวจากความเครียด

ความสัมพันธ์ความเค้นสมมูล-ความเครียดพลาสติกสมมูล

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

โดยทั่วไปฟังก์ชันครากภายหลังเป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิและงานจากความเครียดพลาสติก แต่เพื่อความง่าย ในที่นี้ให้เป็นฟังก์ชันของความเครียดพลาสติกสมมูล \(\overline{e}^p\) เพียงอย่างเดียว ระหว่างที่การเสียรูปพลาสติกดำเนินไป ต้องคงเงื่อนไข \(F = 0\) ไว้ ดังนั้นสมการต่อไปนี้ต้องเป็นจริง

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

โดยที่ \(\dot{F}\) แทนอนุพันธ์ตามเวลาของ \(F\) และต่อจากนี้จะเขียนอนุพันธ์ตามเวลาของปริมาณ \(A\) เป็น \(\dot{A}\)

สมมติว่ามีศักย์พลาสติก \(\Theta\) และให้อัตราความเครียดพลาสติกแสดงด้วยสมการต่อไปนี้

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

โดยที่ \(\dot{\lambda}\) เป็นสัมประสิทธิ์

นอกจากนี้ ให้ศักย์พลาสติก \(\Theta\) เท่ากับฟังก์ชันคราก \(F\) และสมมติกฎการไหลแบบ associated flow rule ดังสมการต่อไปนี้

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

แทนสมการนี้ลงในสมการเงื่อนไขความสอดคล้อง จะได้สมการต่อไปนี้

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

โดยที่ \(D\) คือเมทริกซ์ยืดหยุ่น และ

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

ความสัมพันธ์ความเค้น-ความเครียดของอีลาสโตพลาสติกเขียนได้ดังนี้

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

เมื่อทราบฟังก์ชันคราก \(F\) ของวัสดุอีลาสโตพลาสติก ก็สามารถได้สมการองค์ประกอบจากสมการนี้

ฟังก์ชันคราก¶

ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันครากอีลาสโตพลาสติกที่ FrontISTR รองรับ

ฟังก์ชันคราก Von Mises¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

โดยที่ \(J_2\) คืออินวาเรียนต์ลำดับที่ 2 ของเทนเซอร์ความเค้นเบี่ยงเบน

ฟังก์ชันคราก Mohr-Coulomb¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

โดยที่ \(\sigma_1, \sigma_3\) คือความเค้นหลักสูงสุดและต่ำสุด, \(c\) คือแรงยึดเหนี่ยว และ \(\phi\) คือมุมเสียดทานภายใน

ฟังก์ชันคราก Drucker-Prager¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

ในที่นี้ ค่าคงที่วัสดุ \(\alpha\) และ \(\sigma_y\) คำนวณจากแรงยึดเหนี่ยวและมุมเสียดทานของวัสดุดังต่อไปนี้

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง¶

ความยืดหยุ่นเชิงเส้น — การตอบสนองยืดหยุ่น (ส่วนยืดหยุ่นของอีลาสโตพลาสติก)
เมทริกซ์ความแข็งสัมผัส — ความแข็งสัมผัสในการวิเคราะห์แบบเพิ่มค่าที่รวมความไม่เชิงเส้นของวัสดุ
ข้อมูลวัสดุ (ฟังก์ชัน) — ตัวเลือกและแนวทางเลือกใช้ฟังก์ชันครากและกฎการแข็งตัว