ข้ามไปที่เนื้อหา

ความยืดหยุ่นเชิงเส้น

บทนี้กล่าวถึงกฎความสัมพันธ์เชิงสภาวะของวัสดุยืดหยุ่นเชิงเส้น (กฎของ Hooke) สำหรับรายละเอียดการเลือกใช้แบบจำลองและการระบุอินพุต โปรดดูหัวข้อฟังก์ชัน 03_material

ปรากฏการณ์ (การตอบสนองยืดหยุ่นเชิงเส้น)

วัสดุยืดหยุ่นเชิงเส้นคือวัสดุที่ ในช่วงที่ความเครียดจากภาระมีค่าน้อยเพียงพอ ความเค้นและความเครียดมีความสัมพันธ์เชิงเส้น และเมื่อถอนภาระ ความเครียดทั้งหมดกลับคืนสู่สภาพเดิม จึงเป็นการตอบสนองที่ย้อนกลับได้และไม่ขึ้นกับประวัติ แตกต่างจากพลาสติกหรือครีป วัสดุชนิดนี้ไม่มีตัวแปรภายในที่แทนสถานะ เช่น ความเครียดพลาสติกหรือความเครียดหนืด และความเค้นถูกกำหนดอย่างเอกฐานจากความเครียด ณ เวลาปัจจุบันเท่านั้น

ในช่วงการเสียรูปเล็ก ใช้ความเค้น Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) และความเครียดขนาดเล็ก \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ส่วนในช่วงการเสียรูปจำกัด (ปัญหาที่มีการหมุนมากแต่ความเครียดเองยังมีค่าน้อย) ใช้ความเค้น Piola-Kirchhoff อันดับที่ 2 \(\boldsymbol{S}\) และความเครียด Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (วัสดุ St.Venant-Kirchhoff)

กฎความสัมพันธ์เชิงสภาวะ

วัสดุยืดหยุ่นเชิงเส้นไอโซทรอปิก

กฎของ Hooke แบบไอโซทรอปิกในช่วงการเสียรูปเล็ก เขียนโดยใช้ค่าคงที่ Lamé \(\lambda, \mu\) เป็น

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

ในรูปองค์ประกอบ จะได้

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

และการหดตัวสองดัชนีกับความเครียดให้ \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) ค่าคงที่ Lamé มีความสัมพันธ์กับมอดูลัสของ Young \(E\) และอัตราส่วน Poisson \(\nu\) ดังนี้:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

ในสัญกรณ์ Voigt ความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์ความเครียด \(\hat{\varepsilon}\) และเวกเตอร์ความเค้น \(\hat{\sigma}\) เขียนเป็น \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) และเมทริกซ์วัสดุสามมิติ \(D\) คือ

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

ซึ่งในการอิมพลีเมนต์จะใช้การแทนในรูปเมทริกซ์นี้

วัสดุยืดหยุ่นเชิงเส้นออร์โธทรอปิก

สำหรับวัสดุที่ค่าคงที่ยืดหยุ่นแตกต่างกันตามทิศแกนหลัก ใช้แบบจำลองออร์โธทรอปิกที่มีค่าคงที่อิสระ 9 ค่า ได้แก่ มอดูลัสของ Young ตามแกนหลัก \(E_1, E_2, E_3\) อัตราส่วน Poisson ระหว่างแกนหลัก \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) และมอดูลัสเฉือน \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\) สำหรับรูปแบบโดยละเอียดของเมทริกซ์ \(D\) ให้ดูเอกสารอ้างอิงมาตรฐาน

ช่วงการเสียรูปจำกัด: วัสดุ St.Venant-Kirchhoff

สำหรับปัญหาที่มีการหมุนมากแต่ความเครียดเองยังมีค่าน้อย ใช้วัสดุ St.Venant-Kirchhoff เป็นกฎยืดหยุ่นเชิงเส้นที่เชื่อมโยงความเค้น Piola-Kirchhoff อันดับที่ 2 \(\boldsymbol{S}\) กับความเครียด Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

นิยามของค่าคงที่ Lamé \(\lambda, \mu\) เหมือนกับกรณีการเสียรูปเล็ก อย่างไรก็ตาม เนื่องจากคู่ของนิยามความเค้นและความเครียดแตกต่างกัน จึงเป็นกฎความสัมพันธ์เชิงสภาวะที่ต่างจากกฎของ Hooke สำหรับการเสียรูปเล็ก

วัสดุไฮโปอีลาสติก

ในวิธี Updated Lagrange ใช้กฎยืดหยุ่นเชิงเส้นระหว่างอัตรา Jaumann ของเทนเซอร์ความเค้น Kirchhoff สัมพัทธ์ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) กับเทนเซอร์อัตราการเสียรูป \(\boldsymbol{D}\)

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

เป็นวัสดุไฮโปอีลาสติก นิยามของ \(\boldsymbol{C}\) ด้วยค่าคงที่ Lamé เหมือนกับข้างต้น แต่เนื่องจากคู่ความเค้นและความเครียดแตกต่างกัน จึงเป็นกฎความสัมพันธ์เชิงสภาวะอีกแบบหนึ่ง สำหรับรายละเอียดการอัปเดตความเค้น \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) ด้วยขั้นตอนอินทิเกรตตามเวลา (อินทิเกรต Euler ไปข้างหน้าและการประมาณผลต่างกึ่งกลาง) ให้ดู tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex

การลดรูปสำหรับการวิเคราะห์สองมิติและองค์ประกอบเชลล์

ความเค้นระนาบ (\(\sigma_{33} = 0\))

สำหรับความเค้นระนาบซึ่งแทนการรับภาระของแผ่นบางและเชลล์ สมมติให้ \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) และใช้ \(D\) ที่ตัดองค์ประกอบความเครียดนอกระนาบ \(\varepsilon_{33}\) ออกทางพีชคณิต:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

ความเครียดระนาบ (\(\varepsilon_{33} = 0\))

สำหรับความเครียดระนาบซึ่งแทนหน้าตัดของโครงสร้างยาวที่ถูกยึดในทิศความหนา สมมติให้ \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

สมมาตรตามแกน

ในการวิเคราะห์สมมาตรตามแกน ซึ่งพิจารณาปัญหาที่สม่ำเสมอในทิศ \(\theta\) ของพิกัดทรงกระบอก \((r, \theta, z)\) จะคงองค์ประกอบ 4 ตัว ได้แก่ \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) และ \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) แล้วได้

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

ดังนี้

องค์ประกอบเชลล์ (ความเค้นระนาบ + แรงเฉือนตามขวาง)

สำหรับองค์ประกอบเชลล์ ความเค้นในระนาบถูกถือเป็นความเค้นระนาบ และสำหรับองค์ประกอบความเครียดเฉือนตามขวาง \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) ใช้ \(\kappa\, G\) โดยมีตัวประกอบแก้ไขแรงเฉือน \(\kappa\) (โดยทั่วไป \(\kappa = 5/6\)) สำหรับการกำหนดรูปโดยละเอียดของแต่ละองค์ประกอบ ให้ดู การกำหนดรูปองค์ประกอบสมรรถนะสูง ข้อกำหนดในหัวข้อฟังก์ชัน 03_material ที่ว่า “องค์ประกอบเชลล์รองรับเฉพาะความยืดหยุ่นเชิงเส้น” อาศัยการทำให้ง่ายโดยถือว่าสภาวะในระนาบเป็นความเค้นระนาบ

การขึ้นกับอุณหภูมิ

โดยทั่วไป มอดูลัสของ Young \(E\) อัตราส่วน Poisson \(\nu\) และสัมประสิทธิ์การขยายตัวเชิงเส้น \(\alpha\) จะระบุเป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิ \(T\) ใน FrontISTR จะป้อนค่าสำหรับลำดับจุดอุณหภูมิแบบจำกัด \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) และประเมินอุณหภูมิ \(T\) ระหว่างการคำนวณด้วยการอินเตอร์โพเลตเชิงเส้นระหว่างจุดที่ติดกัน สำหรับอุณหภูมินอกช่วง (\(T < T_1\) หรือ \(T > T_n\)) จะเอ็กซ์ทราโพเลตโดยใช้ค่าที่ปลายใกล้ที่สุด \(T_1\) หรือ \(T_n\) (การเอ็กซ์ทราโพเลตค่าคงที่)

สำหรับการขึ้นกับอุณหภูมิของสมบัติทางความร้อนและการนำความร้อน (ความหนาแน่น ความร้อนจำเพาะ และสภาพนำความร้อน) ให้ดู สมบัติทางความร้อน กฎการอินเตอร์โพเลตเป็นกฎเดียวกัน

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status