การวิเคราะห์สถิตยศาสตร์ยืดหยุ่นเชิงเส้น (บทนำ)¶

ส่วนนี้แสดงการกำหนดรูปแบบของการวิเคราะห์สถิตยศาสตร์ยืดหยุ่นตามทฤษฎีการเสียรูปขนาดเล็ก โดยสมมติความยืดหยุ่นเชิงเส้นสำหรับความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นกับความเครียด บทนี้เป็นบทนำเพื่อให้เห็นภาพรวมของการวิเคราะห์โครงสร้างด้วยวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ และจัดทำให้สามารถอ่านจบได้ภายในบทเดียว

สำหรับหลักงานเสมือนโดยทั่วไป (คอนฟิกูเรชันปัจจุบัน คอนฟิกูเรชันเริ่มต้น และการลดรูปสู่กรณีการเสียรูปขนาดเล็ก) ดู หลักงานเสมือน, รายละเอียดกฎองค์ประกอบยืดหยุ่นเชิงเส้นดู ความยืดหยุ่นเชิงเส้น, ข้อตกลงสัญกรณ์เทนเซอร์และสัญกรณ์ Voigt ดู สัญกรณ์เทนเซอร์และพื้นฐานทางคณิตศาสตร์, การกำหนดรูปแบบทั่วไปของการเสียรูปจำกัดดู การเคลื่อนที่ การเสียรูป และความเครียด และวิธีแก้ปัญหาไม่เชิงเส้นดู เมทริกซ์ความแข็งสัมผัส

สมการพื้นฐาน¶

ภายใต้สมมติฐานการเสียรูปขนาดเล็กและความยืดหยุ่นเชิงเส้น ปัญหาค่าขอบเขตของกลศาสตร์ของแข็งประกอบด้วยสมการสมดุล เงื่อนไขขอบเขตเชิงกล และเงื่อนไขขอบเขตเชิงเรขาคณิต (เงื่อนไขขอบเขตจำเป็น) ดังรูป 2.1.1:

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

โดยที่ \(\boldsymbol{\sigma}\) คือความเค้น Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) คือแรงปริมาตรต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) คือแรงผิวที่กำหนด, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) คือการกระจัดที่กำหนด และ \(S_t, S_u\) คือขอบเขตเชิงกลและขอบเขตเชิงเรขาคณิตตามลำดับ

ปัญหาค่าขอบเขตในกลศาสตร์ของแข็ง (ปัญหาการเสียรูปขนาดเล็ก)

รูป 2.1.1 ปัญหาค่าขอบเขตในกลศาสตร์ของแข็ง (ปัญหาการเสียรูปขนาดเล็ก)

ความสัมพันธ์ความเครียด-การกระจัดเขียนโดยใช้ ตัวดำเนินการเกรเดียนต์สมมาตร ได้เป็น

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

สมการองค์ประกอบยืดหยุ่นเชิงเส้นคือ

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

โดยที่ \(\boldsymbol{C}\) คือเทนเซอร์ยืดหยุ่นอันดับ 4

หลักงานเสมือน¶

รูปทั่วไปของหลักงานเสมือน (การเขียนบนคอนฟิกูเรชันปัจจุบัน การเขียนบนคอนฟิกูเรชันเริ่มต้น และการลดรูปสู่การเสียรูปขนาดเล็ก) รวมไว้ใน หลักงานเสมือน ภายใต้สมมติฐานการเสียรูปขนาดเล็กและความยืดหยุ่นเชิงเส้น รูปแบบอ่อนคือ

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

เมื่อแทนสมการองค์ประกอบ \eqref{eq:2.1.5} และเขียนเป็น \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ด้วย สัญกรณ์ Voigt จะได้รูปที่ใช้ในการดิสครีไทซ์โดยตรง

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

โดยที่ \(D\) คือเมทริกซ์ยืดหยุ่นใน ความยืดหยุ่นเชิงเส้น สมการ \eqref{eq:2.1.10} และ \eqref{eq:2.1.7} คือหลักงานเสมือนที่จะดิสครีไทซ์ต่อไป

การดิสครีไทซ์และการประกอบสมการรวม¶

ดิสครีไทซ์สมการหลักงานเสมือน \( \eqref{eq:2.1.10} \) สำหรับแต่ละไฟไนต์เอลิเมนต์ จะได้สมการต่อไปนี้

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

สำหรับแต่ละเอลิเมนต์ ให้ประมาณค่าภายในสนามการกระจัดด้วยการกระจัดของโหนดที่ประกอบเป็นเอลิเมนต์ดังสมการต่อไปนี้

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

ในกรณีนี้ ความเครียดหาได้จากสมการ \(\eqref{eq:2.1.4}\) ดังต่อไปนี้

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

แทนสมการ \(\eqref{eq:2.1.12}\) และ \(\eqref{eq:2.1.13}\) ลงในสมการ \(\eqref{eq:2.1.11}\) จะได้

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

สมการ \(\eqref{eq:2.1.14}\) สามารถจัดรูปได้ดังต่อไปนี้

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

โดยที่ องค์ประกอบของเมทริกซ์และเวกเตอร์ที่นิยามด้วยสมการ \(\eqref{eq:2.1.16}\) และ \(\eqref{eq:2.1.17}\) สามารถคำนวณแยกสำหรับแต่ละไฟไนต์เอลิเมนต์แล้วนำมาซ้อนรวมกันได้

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

เนื่องจากสมการ \(\eqref{eq:2.1.15}\) ต้องเป็นจริงสำหรับการกระจัดเสมือนใด ๆ \(\delta \boldsymbol{U}\) จะได้สมการต่อไปนี้

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

ในอีกด้านหนึ่ง เงื่อนไขขอบเขตการกระจัดในสมการ \(\eqref{eq:2.1.3}\) เขียนได้ดังต่อไปนี้

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

เมื่อแก้สมการ \(\eqref{eq:2.1.18}\) ภายใต้เงื่อนไขข้อจำกัดในสมการ \(\eqref{eq:2.1.19}\) จะสามารถกำหนดการกระจัดของโหนด \(\boldsymbol{U}\) ได้

การวิเคราะห์สถิตยศาสตร์ยืดหยุ่นเชิงเส้น (บทนำ)¶

สมการพื้นฐาน¶

หลักงานเสมือน¶

การดิสครีไทซ์และการประกอบสมการรวม¶

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง¶