การทำซ้ำไม่เชิงเส้นและการอินทิเกรตตามเวลา¶

การวิเคราะห์ของ FrontISTR ดำเนินคำตอบโดยผสานการทำซ้ำไม่เชิงเส้นกับการอินทิเกรตตามเวลาในแต่ละซับสเต็ป ภายใต้การควบคุมส่วนเพิ่มของแต่ละสเต็ป หน้านี้อธิบายโครงสร้างการทำซ้ำที่อยู่ระหว่างการควบคุมสเต็ปชั้นนอกกับตัวแก้สมการเชิงเส้นชั้นใน ได้แก่ การทำซ้ำ Newton-Raphson, การทำซ้ำการสัมผัส, การอินทิเกรตตามเวลาของการวิเคราะห์พลวัต และกรอบของการเดินเวลาและการทำซ้ำไม่เชิงเส้นในการนำความร้อนไม่คงตัว

ภาพรวมของฟังก์ชัน¶

การแก้ปัญหาไม่เชิงเส้นและการอินทิเกรตตามเวลาภายในสเต็ปมีโครงสร้างลูปซ้อนกันหลายชั้นจากด้านนอกเข้าสู่ด้านใน แต่ละชั้นมีบทบาทดังนี้

ชั้นที่ใช้จริงจะแตกต่างกันตามชนิดการวิเคราะห์

สำหรับวิธีเลือกชนิดการสัมผัสและอัลกอริทึม โปรดดู การสัมผัสและการฝังตัว หน้านี้เน้นว่าอัลกอริทึมที่เลือกถูกจัดเป็นลูปการทำซ้ำอย่างไร

วิธีเลือกวิธีแก้¶

โครงสร้างการทำซ้ำจะถูกกำหนดโดยอัตโนมัติจากชนิดการวิเคราะห์ (ชนิดการวิเคราะห์) การมีหรือไม่มีความไม่เชิงเส้น (เรขาคณิต วัสดุ การสัมผัส) และอัลกอริทึมการสัมผัส (SLAGRANGE หรือ ALAGRANGE) สิ่งที่ผู้ใช้ปรับโดยตรงคือจำนวนรอบสูงสุดและเกณฑ์การลู่เข้า

แนวทางการปรับมีดังนี้

• สำหรับการวิเคราะห์มาตรฐาน จำนวนรอบสูงสุดมักใช้ค่าเริ่มต้นได้ หากปัญหาลู่เข้ายากและจบด้วย “ไม่ลู่เข้าเพราะถึงจำนวนรอบสูงสุด” ให้ใช้คัตแบ็ก (การควบคุมสเต็ป) ก่อน และเพิ่มขีดจำกัดเมื่อยังไม่ดีขึ้น
• ปรับเกณฑ์การลู่เข้าโดยสมดุลระหว่างเสถียรภาพของการวิเคราะห์กับเวลาคำนวณ เกณฑ์ที่เข้มงวดขึ้นเพิ่มความแม่นยำของสมดุลแต่เพิ่มจำนวนรอบ สำหรับการวิเคราะห์การสัมผัสหรือกรณีที่มีตัวคูณ Lagrange การใช้เกณฑ์ส่วนเพิ่มการกระจัดและเกณฑ์ Lagrange ร่วมกับเกณฑ์เศษเหลืออาจช่วยเพิ่มเสถียรภาพ
• สำหรับพารามิเตอร์การอินทิเกรตตามเวลาของการวิเคราะห์พลวัต (สัมประสิทธิ์ Newmark-β) ให้เริ่มจากชุดค่ามาตรฐานและปรับเมื่อจำเป็นต้องเปลี่ยนลักษณะการหน่วงเชิงตัวเลข ของการตอบสนองการสั่น
• สำหรับการอินทิเกรตตามเวลาของการนำความร้อนไม่คงตัว ใช้ Crank-Nicolson เมื่ออุณหภูมิเปลี่ยนอย่างราบรื่น และใช้ Backward Euler เมื่อให้ความสำคัญกับเสถียรภาพภายใต้การเปลี่ยนแปลงฉับพลันหรือการวิเคราะห์เวลานาน

การทำซ้ำ Newton-Raphson สำหรับการวิเคราะห์สถิต¶

ในการวิเคราะห์สถิตไม่เชิงเส้น สมการสมดุลที่มีความไม่เชิงเส้นทางเรขาคณิตหรือวัสดุจะถูกแก้ซ้ำด้วยวิธี Newton-Raphson แต่ละรอบดำเนินดังนี้

1. ประเมินเวกเตอร์เศษเหลือ \(\boldsymbol{R}\) จากคำตอบปัจจุบัน
2. ประกอบเมทริกซ์ความแข็งแทนเจนต์ \(\boldsymbol{K}_T\)
3. แก้ระบบเชิงเส้น \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) เพื่อหาค่าส่วนแก้การกระจัด \(\Delta \boldsymbol{u}\)
4. อัปเดตคำตอบด้วย \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\)
5. เปรียบเทียบกับเกณฑ์การลู่เข้า หากลู่เข้าแล้วให้จบรอบ หากยังไม่ลู่เข้าให้กลับไปขั้นตอน 1

การแก้ระบบเชิงเส้น (ขั้นตอน 3) ทำโดยตัวแก้สมการเชิงเส้น สำหรับการเลือกตัวแก้สมการและการปรับสภาพล่วงหน้า โปรดดู ตัวแก้สมการและการปรับสภาพล่วงหน้า

ควบคุมการทำซ้ำด้วยพารามิเตอร์ควบคุมสเต็ปของ !STEP ค่าหลักมีดังนี้

จำนวนการทำซ้ำ Newton สูงสุดที่ใช้ตัดสินส่วนเพิ่มอัตโนมัติและคัตแบ็ก ใน การควบคุมสเต็ป หมายถึงจำนวนการทำซ้ำ Newton ที่กล่าวในหน้านี้ ระบบส่วนเพิ่มอัตโนมัติจะเพิ่มส่วนเพิ่มเวลาหลังซับสเต็ปที่ใช้รอบน้อย และลดส่วนเพิ่มเวลาหลังซับสเต็ปที่ใช้รอบมาก

การทำซ้ำการสัมผัสสำหรับการวิเคราะห์สถิต¶

ในการวิเคราะห์การสัมผัส สถานะการสัมผัสเปลี่ยนระหว่างการทำซ้ำเนื่องจากการติด การแยก และการลื่นของผิวสัมผัส ดังนั้นการทำซ้ำ Newton จึงทำงานร่วมกับการอัปเดตสถานะการสัมผัส โครงสร้างลูปแตกต่างตามอัลกอริทึมแก้การสัมผัส

ทั้งสองอัลกอริทึมมี ลูปค้นหาสถานะการสัมผัส อยู่ชั้นนอกสุด ในแต่ละรอบ หลังทำให้การทำซ้ำ Newton ชั้นในลู่เข้าแล้ว จะประเมินสถานะการสัมผัส (ติด/แยก) ใหม่ หากสถานะเปลี่ยนจะอัปเดตโครงสร้างเมทริกซ์ความแข็ง แล้วรันการทำซ้ำชั้นในอีกครั้ง ลูปจะจบเมื่อสถานะการสัมผัสไม่เปลี่ยนจากครั้งก่อนและผ่านเกณฑ์การลู่เข้าของการสัมผัส (แรงสัมผัส/ตัวคูณ Lagrange) จำนวนรอบสูงสุดกำหนดด้วย MAXCONTITER ของ !STEP

สำหรับการสัมผัส SLAGRANGE องศาอิสระของการสัมผัสจะถูกรวมในระบบเชิงเส้นด้วยวิธีตัวคูณ Lagrange มาตรฐาน และมีโครงสร้างสองชั้นโดยวางการทำซ้ำ Newton โดยตรงภายในลูปค้นหาสถานะการสัมผัส ไม่มีการทำซ้ำ Augmented Lagrange

สำหรับการสัมผัส ALAGRANGE จะมีการทำซ้ำ Augmented Lagrange เพิ่มภายในลูปค้นหาสถานะการสัมผัส และการทำซ้ำ Newton อยู่ภายในอีกชั้น จึงเป็นโครงสร้างสามชั้น ในแต่ละการทำซ้ำ Augmented Lagrange จะประเมินข้อจำกัดการสัมผัสใหม่ด้วยการรวมพจน์เพนัลตีและตัวคูณ Lagrange เพื่อปรับปรุงความแม่นยำของข้อจำกัดทีละขั้น จำนวนรอบสูงสุดกำหนดด้วย AUGITER ของ !CONTACT_ALGO

ค่าควบคุมการทำซ้ำการสัมผัสมีดังนี้

จำนวนการทำซ้ำการสัมผัสที่อ้างอิงในการตัดสินส่วนเพิ่มอัตโนมัติของ การควบคุมสเต็ป หมายถึงจำนวนรอบที่รวมการอัปเดตสถานะการสัมผัสตามที่อธิบายในหน้านี้ การวิเคราะห์ที่เกิดการติด/แยกบ่อยมีแนวโน้มใช้การทำซ้ำการสัมผัสมากขึ้นและส่งผลต่อการตัดสินส่วนเพิ่มอัตโนมัติและคัตแบ็ก สำหรับชนิดการสัมผัส นิยามคู่สัมผัส และการเลือกอัลกอริทึม โปรดดู การสัมผัสและการฝังตัว และสำหรับการแก้ระบบเชิงเส้นที่มีองศาอิสระของการสัมผัส โปรดดู ตัวแก้สมการและการปรับสภาพล่วงหน้า

การอินทิเกรตตามเวลาของการวิเคราะห์พลวัต (วิธีโดยปริยาย)¶

วิธีโดยปริยาย สำหรับการวิเคราะห์พลวัตใช้วิธี Newmark-β เชื่อมโยงการกระจัด ความเร็ว และความเร่ง ณ เวลาถัดไปในแต่ละก้าวเวลา แล้วใช้ร่วมกับสมการการเคลื่อนที่เพื่อหาสถานะที่เวลา \(t + \Delta t\) ข้อจำกัดด้านเสถียรภาพต่อก้าวเวลา \(\Delta t\) ค่อนข้างผ่อนคลาย จึงแก้การตอบสนองโครงสร้างที่องค์ประกอบความถี่ต่ำเด่นได้อย่างมีประสิทธิภาพ

พารามิเตอร์ของการอินทิเกรตตามเวลา มี 2 ค่า

ชุด \(\beta = 1/4\) และ \(\gamma = 1/2\) เรียกว่าวิธี ความเร่งเฉลี่ย เป็นตัวเลือกมาตรฐานที่เสถียรแบบไม่มีเงื่อนไขและไม่มี การหน่วงเชิงตัวเลข หากต้องการเพิ่ม การหน่วงเชิงตัวเลข ให้กำหนด \(\gamma\) มากกว่า \(1/2\) สำหรับรายละเอียดทางคณิตศาสตร์ของชุดค่าพารามิเตอร์ เสถียรภาพ และคุณลักษณะความคลาดเคลื่อน โปรดดูคู่มือทฤษฎี

เมื่อมีความไม่เชิงเส้น (เรขาคณิต วัสดุ หรือการสัมผัส) จะทำการทำซ้ำ Newton ภายในแต่ละก้าวเวลา แก้ระบบเชิงเส้นในแต่ละรอบและอัปเดตสถานะ เกณฑ์การลู่เข้าใช้ค่าเดียวกับการวิเคราะห์สถิต เช่น CONVERG สำหรับการวิเคราะห์พลวัตที่มีการสัมผัส โครงสร้างการทำซ้ำเดียวกับ การทำซ้ำการสัมผัสสำหรับการวิเคราะห์สถิต จะถูกฝังในก้าวเวลา

ก้าวเวลาของการวิเคราะห์พลวัตควบคุมโดยอิงเงื่อนไขเวลาของ !STEP สำหรับส่วนเพิ่มคงที่ ให้กำหนด DTIME ของ !STEP เป็นก้าวเวลา และ ETIME เป็นช่วงเวลาของสเต็ป n_step และ t_delta ของ !DYNAMIC ใช้เป็นค่าเริ่มต้นเมื่อไม่ระบุ !STEP หรือเพื่อความเข้ากันได้ย้อนหลัง สำหรับวิธีโดยปริยายไม่เชิงเส้น สามารถเปิดใช้ส่วนเพิ่มอัตโนมัติและคัตแบ็กด้วย INC_TYPE=AUTO ของ !STEP เพื่อเพิ่มหรือลดก้าวเวลาตามสถานะของการทำซ้ำ Newton และการทำซ้ำการสัมผัส ไม่ว่าจะใช้ส่วนเพิ่มคงที่หรืออัตโนมัติ ควรกำหนดก้าวเวลาโดยพิจารณาทั้งการลู่เข้าและความแม่นยำที่ต้องการ

การอินทิเกรตตามเวลาของการวิเคราะห์พลวัต (วิธีโดยชัดแจ้ง)¶

วิธีโดยชัดแจ้งสำหรับการวิเคราะห์พลวัตใช้วิธีผลต่างกลางเพื่อคำนวณสถานะเวลาถัดไปโดยตรงจากข้อมูลการกระจัด ความเร็ว และความเร่งของเวลาก่อนหน้า เนื่องจากไม่แก้ระบบสมการพร้อมกัน ต้นทุนต่อสเต็ปจึงต่ำ แม้มีความไม่เชิงเส้นก็เป็นการอัปเดตขั้นเดียวในแต่ละก้าวเวลา โดยไม่มีการทำซ้ำ Newton

ก้าวเวลา มีขีดจำกัดบนจากเงื่อนไขเสถียรภาพ (เงื่อนไข CFL) ซึ่งอิงคาบธรรมชาติที่สั้นที่สุดของระบบ หากก้าวเวลา เกินขีดจำกัดนี้ คำตอบเชิงตัวเลขจะลู่ออก จึงไม่สามารถใช้ก้าวเวลาใหญ่เหมือนวิธีโดยปริยาย ได้ วิธีโดยชัดแจ้ง มีข้อได้เปรียบสำหรับปรากฏการณ์ที่ต้องใช้ก้าวเวลาเล็กอยู่แล้ว เช่น การกระแทก การแพร่คลื่น และการสัมผัสความเร็วสูง

เมื่อมีการสัมผัส จะจัดการข้อจำกัดการสัมผัสด้วยวิธี Forward Increment Lagrange และประเมินแรงสัมผัสให้สอดคล้องกับการอัปเดตขั้นเดียวของวิธีโดยชัดแจ้ง

วิธีแก้การวิเคราะห์การตอบสนองความถี่¶

การวิเคราะห์การตอบสนองความถี่หาการตอบสนองคงตัวแบบคาบโดยตรงในโดเมนความถี่ด้วยวิธีการซ้อนทับโหมด โดยประเมินการตอบสนองขณะเปลี่ยนความถี่กระตุ้น จึงไม่ต้องติดตามประวัติเวลาด้วยการทำซ้ำ และไม่มีทั้งการทำซ้ำไม่เชิงเส้นหรือการอินทิเกรตตามเวลา

ก่อนรันการวิเคราะห์การตอบสนองความถี่ ต้องทำ การวิเคราะห์ค่าลักษณะเฉพาะ กับระบบเดียวกันและสกัดโหมดธรรมชาติที่จำเป็นไว้ก่อน รองรับเฉพาะแบบจำลองเชิงเส้น และไม่สามารถรันเมื่อเปิดใช้ความไม่เชิงเส้นทางเรขาคณิตหรือวัสดุ สำหรับตำแหน่งของชนิดการวิเคราะห์ โปรดดู ชนิดการวิเคราะห์

การเดินเวลาและการทำซ้ำไม่เชิงเส้นของการนำความร้อนไม่คงตัว¶

การนำความร้อนไม่คงตัวมีลูปเวลาของตัวเองที่ทำงานครบภายใน !HEAT โดยควบคุมก้าวเวลา ผ่านเส้นทางที่แยกจาก !STEP และ !AUTOINC_PARAM ของการวิเคราะห์โครงสร้าง และจะทำการทำซ้ำไม่เชิงเส้นภายในแต่ละก้าวเวลา เมื่อสมบัติวัสดุขึ้นกับอุณหภูมิ

เลือก แบบแผนการอินทิเกรตตามเวลา ด้วยพารามิเตอร์ \(\beta\) ของ !HEAT

ก้าวเวลาถูกควบคุมแบบปรับตัวโดยใช้ร่วมกันระหว่างก้าวเวลาเริ่มต้น ก้าวเวลาต่ำสุด และการเปลี่ยนอุณหภูมิสูงสุดต่อหนึ่งสเต็ป หากหลังคำนวณแต่ละก้าวเวลา การเปลี่ยนอุณหภูมิเกิน DELTMX จะลดก้าวเวลา และคำนวณใหม่ หากก้าวเวลาต่ำกว่า DTMIN จะยุติการวิเคราะห์

เมื่อสมบัติวัสดุขึ้นกับอุณหภูมิ จะทำการทำซ้ำไม่เชิงเส้นภายในแต่ละก้าวเวลา การควบคุมมีดังนี้

ในการนำความร้อนคงตัวจะไม่ใช้ก้าวเวลา และจะทำเฉพาะการทำซ้ำไม่เชิงเส้นเมื่อวัสดุขึ้นกับอุณหภูมิ เนื่องจากการควบคุมเวลาของการวิเคราะห์การนำความร้อนแยกจาก !STEP ของการวิเคราะห์โครงสร้าง หากต้องปรับก้าวเวลา ให้ตรวจสอบการกำหนดใน !HEAT

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง¶

• ชนิดการวิเคราะห์ — ตำแหน่งของแต่ละชนิดการวิเคราะห์
• การสัมผัสและการฝังตัว — การเลือกชนิดการสัมผัส นิยามคู่สัมผัส และอัลกอริทึมแก้
• ตัวแก้สมการและการปรับสภาพล่วงหน้า — การแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่เรียกภายในการทำซ้ำ Newton
• การควบคุมสเต็ป — การควบคุมสเต็ป/ซับสเต็ปชั้นนอก ส่วนเพิ่มอัตโนมัติ และคัตแบ็ก
• วิธี Newton-Raphson (ทฤษฎี) — สูตรของวิธีแก้แบบทำซ้ำ
• เกณฑ์การลู่เข้า (ทฤษฎี) — นิยามทางคณิตศาสตร์ของตัวชี้วัดการลู่เข้า
• วิธีวิเคราะห์พลวัต (ทฤษฎี) — สูตรของวิธี Newmark-β และ ผลต่างกลาง
• การวิเคราะห์การนำความร้อนไม่คงตัว (ทฤษฎี) — สูตรการอินทิเกรตตามเวลาของการนำความร้อน
• การวิเคราะห์การสัมผัส (ทฤษฎี) — สูตรของวิธีตัวคูณ Lagrange
• คู่มืออ้างอิงคีย์เวิร์ด: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT