Modal analysis - FrontISTR Multilingual Documentation

Tatizo la generalized eigenvalue¶

Katika uchanganuzi wa free vibration wa continuum, spatial discretization hufanywa na mfumo huwekwa modeli kama multi-degree-of-freedom system yenye concentrated masses kama inavyoonyeshwa katika Mchoro 2.3.1. Kwa tatizo la undamped free vibration, governing equation (equation of motion) ni kama ifuatavyo.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Hapa $u$ ni generalized displacement vector, $M$ ni mass matrix, na $K$ ni stiffness matrix. Tuchukulie eigen angular frequency kuwa $\omega$, $a$, $b$, na $c$ kuwa constants zozote, na $x$ kuwa vector, kisha tufafanue function

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Sasa kwa function hii na derivative yake ya pili, yaani,

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

tukibadilisha katika mlinganyo $\eqref{eq:2.3.1}$, tunapata

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Yaani,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

tunapata.

Kwa hiyo, kwa equation $\eqref{eq:2.3.5}$, tunatafuta coefficient $\lambda = \omega^2$ inayolitimiza. na vector $x$, function $u(t)$ huwa solution ya mlinganyo $\eqref{eq:2.3.1}$.

Coefficient $\lambda$ huitwa eigenvalue na vector $x$ huitwa eigenvector; tatizo la kuzipata kutoka mlinganyo $\eqref{eq:2.3.1}$ huitwa generalized eigenvalue problem.

Mfano wa multi-degree-of-freedom system ya undamped free vibration

Mchoro 2.3.1 Mfano wa multi-degree-of-freedom system ya undamped free vibration

Sifa za matriki na assumptions¶

Kwa generalized eigenvalue problem $K x = \lambda M x$ iliyopatikana katika sehemu iliyotangulia, mwongozo huu unadhani sifa zifuatazo za matriki. Assumptions hizi ni msingi wa convergence na applicability ya shifted inverse iteration na Lanczos method zinazofuata. Kwa complex matrix, transpose ni complex conjugate; kwa real matrix ni symmetric. Yaani, kwa matrix $K$, tukitaja component ya $ij$ kuwa $k_{ij}$, na complex conjugate ya $k$ kuwa $\bar{k}$, basi

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

uhusiano huu unashikilia.

Katika mwongozo huu, matriki zinadhaniwa kuwa symmetric positive definite. Positive definite humaanisha eigenvalues zote ni chanya; kwa maneno mengine, matrix daima hutimiza mlinganyo $\eqref{eq:2.3.7}$ hapa chini.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Shifted inverse iteration¶

Katika structural analysis kwa FEM, kwa matumizi ya kawaida mara nyingi si lazima kupata eigenvalues zote; eigenvalues chache za modes za chini zinatosha. HEC-MW imekusudiwa kushughulikia matatizo makubwa, hivyo matriki ni kubwa na sparse sana (zina zero entries nyingi). Kwa hiyo ni muhimu kupata kwa ufanisi eigenvalues za modes za chini kwa kuzingatia sifa hii.

Ikiwa lower bound ya eigenvalue ni $\sigma$, mlinganyo $\eqref{eq:2.3.5}$ unaweza kubadilishwa kuwa umbo lifuatalo (ni sawa kihisabati).

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Transformation hii ina sifa zifuatazo zenye manufaa kwa hesabu.

Mpangilio wa modes umegeuzwa.
Eigenvalues karibu na $\rho$ zimefanywa kuwa kubwa zaidi.

Katika hesabu halisi, eigenvalue kubwa zaidi mara nyingi hupatikana kwanza. Kwa hiyo, badala ya kutumia mchakato mkuu wa convergence moja kwa moja kwenye mlinganyo $\eqref{eq:2.3.5}$, tunautumia kwenye $\eqref{eq:2.3.8}$ ili kupata kwanza eigenvalues karibu na $\rho$. Mbinu hii huitwa shifted inverse iteration.

Mbinu ya Lanczos¶

Sababu ya kuchagua (ikilinganishwa na Jacobi method)¶

Jacobi method ni mbinu ya classical inayojulikana sana.

Mbinu hii hufanya kazi vizuri wakati matrix ni ndogo na dense. Hata hivyo, kwa kuwa matriki zinazoshughulikiwa na HEC-MW ni kubwa na sparse, Jacobi haitumiki; badala yake Lanczos iterative method hutumika.

Algoriti na sifa¶

Mbinu hii, iliyopendekezwa na C. Lanczos katika miaka ya 1950, ni algoriti ya kugeuza matrix kuwa tridiagonal na ina sifa zifuatazo.

Ni iterative convergent method na inaweza kuendelea na hesabu huku matrix ikibaki sparse.
Algoriti inategemea hasa matrix-vector products na inafaa kwa parallelization.
Inafaa kwa geometric domain decomposition inayohusiana na finite-element mesh.
Hesabu inaweza kufanywa kwa ufanisi kwa kuweka kikomo cha idadi ya eigenvalues au range ya modes zinazotafutwa.

Lanczos method huanza na initial vector, huunda orthogonal vectors mfululizo, na kupata basis ya subspace. Inasemekana kuwa ya haraka kuliko subspace method, ambayo pia ni iterative method, na hutumika sana katika programu za FEM. Hata hivyo, mbinu hii ni nyeti kwa numerical round-off error; orthogonality ya vectors inaweza kupotea na mchakato unaweza kuvunjika njiani. Kwa hiyo hatua za kudhibiti error ni muhimu.

Maana ya kijiometri (Krylov subspace)¶

Kwa kubadilisha variables katika mlinganyo $\eqref{eq:2.3.8}$ kama ifuatavyo

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

na kuandika upya tatizo,

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

tunapata.

Kwa vector inayofaa $q_0$, tunafanya linear transformation kwa matrix $A$ (rejelea Mchoro 2.3.2).

$Linear transformation kwa matrix $A$ ya $q_0$$

Mchoro 2.3.2 Linear transformation kwa matrix $A$ ya $q_0$

Vector iliyotransformiwa huorthogonalize ndani ya space inayoundwa pamoja na vector ya awali. Yaani, Gram-Schmidt orthogonalization hufanywa kama inavyoonyeshwa katika Mchoro 2.3.2. Vector inayopatikana huitwa $r_1$, kisha hunormalize (urefu 1) ili kupata $q_1$ (Mchoro 2.3.3). Kwa algorithm hiyo hiyo, kutoka $q_1$ tunapata $q_2$. Hapa $q_2$ ni orthogonal kwa $q_1$ na $q_0$ zote mbili (Mchoro 2.3.4). Kwa kuendelea na hesabu hiyo hiyo, vectors zinazokuwa orthogonal kwa kila mmoja hupatikana hadi order ya matrix.

$Kwa $q_0$, vector orthogonal $q_1$$

Mchoro 2.3.3 Kwa $q_0$, vector orthogonal $q_1$

$Kwa $q_1$ na $q_0$, vector orthogonal $q_2$$

Mchoro 2.3.4 Kwa $q_1$ na $q_0$, vector orthogonal $q_2$

Hasa, algoriti ya Lanczos ni orthogonalization ya mfululizo wa vectors $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

au kwa maneno mengine $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

kwa Gram-Schmidt method. Mfululizo huu wa vectors huitwa Krylov sequence, na space inayoundwa nao huitwa Krylov subspace. Katika space hii, Gram-Schmidt orthogonalization huruhusu vector inayofuata kupatikana kwa kutumia vectors mbili za karibu zaidi. Hii huitwa kanuni ya Lanczos.

Tridiagonalization¶

Katika iteration zilizo hapo juu, hesabu ya i+1 inaweza kuandikwa

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

ambapo,

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

Ikiandikwa katika matrix notation,

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

Hapa,

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Yaani, eigenvalues hupatikana kwa kufanya eigenvalue calculation kwenye tridiagonal matrix inayopatikana katika mlinganyo $\eqref{eq:2.3.13}$.

Vipengee vinavyohusiana¶

Uchanganuzi wa mwitikio wa masafa — Frequency response inayotumia matokeo ya modal analysis
Aina za uchanganuzi — Muhtasari wa vipengele vya modal analysis