Mwendo, Uharibifu na Strain¶

Usanidi wa marejeo na usanidi wa sasa¶

Ufafanuzi wa usanidi¶

Ili kutofautisha umbo la wakati gani linatumika kama msingi wa kueleza kiasi cha kimwili, mwongozo huu hutumia aina mbili za usanidi.

Usanidi wa marejeo (reference configuration): umbo lisiloharibika mwanzoni mwa uchanganuzi (wakati \(0\)), pia huitwa usanidi wa awali. Nukta katika usanidi wa marejeo huwakilishwa kwa kiwianishi cha nyenzo \(\boldsymbol{X}\), ujazo ni \(V\), na uso ni \(S\).
Usanidi wa sasa (current configuration): umbo lililoharibika wakati \(t\). Nukta katika usanidi wa sasa huwakilishwa kwa kiwianishi cha nafasi \(\boldsymbol{x}\), ujazo ni \(v\), na uso ni \(s\).

Mwendo huwakilishwa kama ramani kati ya usanidi hizi mbili, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), na uhamisho hufafanuliwa kama \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Kanuni za nukuu zinazotegemea usanidi (herufi kubwa/ndogo)¶

Ukubwa wa herufi ya alama hutofautisha usanidi ambao kiasi cha kimwili kinahusishwa nao.

Kiasi kinachohusishwa na usanidi wa marejeo huandikwa kwa herufi kubwa (kwa mfano, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Kiasi kinachohusishwa na usanidi wa sasa huandikwa kwa herufi ndogo (kwa mfano, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Kiasi kinachovuka usanidi zote mbili, kama mkazo wa kwanza wa Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\), hutumia alama ya kawaida na hutambulishwa wazi katika maandishi inapohitajika.
Katika nadharia ya uharibifu mdogo, tofauti kati ya usanidi mbili hutoweka, kwa hiyo hutumiwa herufi ndogo pekee (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradient ya usanidi wa marejeo na ya usanidi wa sasa¶

Alama na maana hutofautiana kulingana na usanidi ambao derivative ya nafasi inachukuliwa dhidi yake.

Gradient ya usanidi wa marejeo \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradient dhidi ya viwianishi vya nyenzo. Mfano: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradient ya usanidi wa sasa \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradient dhidi ya viwianishi vya nafasi. Mfano: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Zinahusishwa kwa \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Kwa kanuni ya derivative za muda (derivative ya muda ya nyenzo \(\dot{(\cdot)}\)), rejelea Nukuu za tensor na misingi ya hisabati.

Maelezo ya mwendo¶

Ramani ya mwendo na maelezo ya nyenzo/nafasi¶

Tukichukulia continuum kuwa mkusanyiko wa nukta za nyenzo zinazotambulishwa kwa nafasi zao \(\boldsymbol{X}\) wakati \(0\), mwendo huwakilishwa na ramani \(\phi\) inayohusisha nukta ya nyenzo \(\boldsymbol{X}\) na nafasi yake \(\boldsymbol{x}\) wakati \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Kwa kanuni kwamba usanidi wa marejeo ni usanidi wa awali, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Aina mbili za maelezo hutofautishwa kulingana na uchaguzi wa vigezo huru.

Maelezo ya nyenzo (maelezo ya Lagrange): kiasi cha kimwili huwakilishwa kama funksi ya \((\boldsymbol{X}, t)\). Katika mekanika ya yabisi huu ni uchaguzi wa asili kwa sababu usanidi wa marejeo hutolewa kama umbo lisilobadilika.
Maelezo ya nafasi (maelezo ya Euler): kiasi cha kimwili huwakilishwa kama funksi ya \((\boldsymbol{x}, t)\). Hii ndiyo njia ya kawaida katika mekanika ya vimiminika.

Uchanganuzi wa miundo wa FrontISTR kimsingi unatokana na maelezo ya nyenzo, lakini mbinu ya Updated Lagrange pia hutumia kiasi cha maelezo ya nafasi kwa sababu usanidi wa sasa hutumiwa kama usanidi mpya wa marejeo.

Uhamisho, kasi na uharakishaji¶

Kama ilivyoelezwa katika sehemu iliyotangulia, uhamisho \(\boldsymbol{u}\) hufafanuliwa kwa \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Hakuna dhana inayowekwa kuhusu ukubwa wake, hivyo uharibifu mkubwa pia unajumuishwa. Vekta za kasi na uharakishaji hufafanuliwa kama derivative za muda za nyenzo za \(\boldsymbol{u}\) huku nukta ya nyenzo ikiwa imeshikiliwa:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Hivyo ndivyo vekta hizi zinavyofafanuliwa.

Gradient ya uharibifu na tensor za uharibifu¶

Tensor ya gradient ya uharibifu¶

Kiasi cha msingi katika mekanika ya continuum yenye uharibifu mkubwa ni tensor ya gradient ya uharibifu \(\boldsymbol{F}\). Hii ni ramani ya mstari inayobadilisha kipande kidogo cha mstari \(d\boldsymbol{X}\) katika usanidi wa marejeo kuwa kipande kidogo cha mstari \(d\boldsymbol{x}\) katika usanidi wa sasa, na hufafanuliwa kama gradient ya ramani ya mwendo dhidi ya viwianishi vya nyenzo:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

ambapo \(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\). Katika hali isiyoharibika, \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) hutumiwa kwa upana kufafanua strain na mkazo na kubadilisha kiasi cha kimwili kati ya usanidi.

Uwiano wa ujazo¶

Uwiano wa ujazo mdogo \(dV\) katika usanidi wa marejeo na ujazo mdogo \(dv\) katika usanidi wa sasa huitwa uwiano wa ujazo \(J\) na hutolewa na

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Kutokana na ugeuzikaji wa continuum, hudhaniwa \(J > 0\). Sheria ya uhifadhi wa molekuli huandikwa \(\rho_0 = J\rho\).

Tensor za uharibifu za Cauchy-Green za kulia na kushoto¶

Kwa kuwa gradient ya uharibifu \(\boldsymbol{F}\) inajumuisha mzunguko wa mwili mgumu, kipimo cha uharibifu wenyewe hutumia kiasi ambacho mzunguko wa mwili mgumu umeondolewa. Tensor ya uharibifu ya Cauchy-Green ya kulia \(\boldsymbol{C}\) (usanidi wa marejeo) na tensor ya uharibifu ya Cauchy-Green ya kushoto \(\boldsymbol{b}\) (usanidi wa sasa) hufafanuliwa kwa

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Zote ni tensor linganifu na zina eigenvalue zilezile (mraba wa principal stretches). Invariant kuu za funksi za nishati ya strain ya hyperelastic huelezwa kwa tensor hizi.

Tensor za strain¶

Tensor ya strain ya Green-Lagrange¶

Kama kipimo cha strain kinachorejelewa kwenye usanidi wa marejeo, tensor ya strain ya Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) hufafanuliwa kwa

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Ni tensor linganifu inayowakilisha mabadiliko ya inner product ya vekta ndogo katika usanidi wa marejeo, haibadiliki chini ya mzunguko wa mwili mgumu, na katika hali isiyoharibika \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). Kwa kutumia \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\), tunapata

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

yaani jumla ya vipengele vya daraja la kwanza na la pili vya gradient ya uhamisho; kipengele cha daraja la pili kinawakilisha kutokuwa kwa mstari kwa kijiometri. Katika mbinu ya Total Lagrange hutumiwa kama jozi conjugate ya kazi \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Tensor ya strain ya Almansi¶

Kama kipimo cha strain kinachorejelewa kwenye usanidi wa sasa, tensor ya strain ya Almansi \(\boldsymbol{e}\) hufafanuliwa kwa

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Inahusishwa na strain ya Green-Lagrange kwa \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Tensor ya strain ndogo¶

Wakati gradient ya uhamisho ni ndogo (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), kipengele cha daraja la pili cha strain ya Green-Lagrange kinaweza kupuuzwa. Kwa kuwa tofauti kati ya usanidi mbili pia hutoweka, hupunguzwa hadi tensor ya strain ndogo \(\boldsymbol{\varepsilon}\) yenye gradient iliyoandikwa katika viwianishi vya nafasi:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR hutumia kipimo hiki cha strain katika uchanganuzi tuli wa mstari, uchanganuzi wa thamani bainifu, uchanganuzi wa mwitikio wa masafa, na uchanganuzi wa mienendo wa mstari. Uchanganuzi wa uharibifu mkubwa hutumia \(\boldsymbol{E}\) katika mbinu ya Total Lagrange na tensor ya kiwango cha uharibifu \(\boldsymbol{D}\) inayorejelewa kwenye usanidi wa sasa katika mbinu ya Updated Lagrange.