Uundaji wa Elementi za Utendaji wa Juu¶

Uundaji wa kawaida unaotegemea displacement ulioonyeshwa katika Uundaji wa elementi solid za 3D huonyesha stiffness kubwa isiyo halisi inayoitwa locking (volumetric locking au shear locking) unapotumika kwa nyenzo karibu zisizobanika au miundo nyembamba inayotawaliwa na bending. Ili kuepuka hili, FrontISTR hutoa mbinu za B-bar na F-bar zinazobadilisha sehemu ya volumetric pekee ya matrix B au deformation gradient, elementi incompatible zinazoingiza degrees of freedom za ndani, elementi mixed za u-p zinazochukulia pressure kama uga huru usiojulikana, pamoja na elementi shell za MITC na elementi beam maalumu kwa miundo ya plate na beam.

Sura hii inapanga uundaji wa elementi hizi za utendaji wa juu na elementi za miundo kwa kila aina ya elementi.

Mbinu ya B-bar¶

Elementi ya hexahedron ya linear yenye nodi 8 ikitumika kwa nyenzo karibu isiyobanika, uga wa strain ndani ya elementi moja unaweza kukinzana na sharti la ujazo usiobadilika, na kusababisha stiffness kubwa iitwayo volumetric locking. Mbinu ya B-bar hupunguza overconstraint hii kwa kubadilisha sehemu za matrix B zinazochangia upanuzi wa ujazo kwa thamani zilizotathminiwa kwenye kituo cha elementi [Hughes1980].

Katika kituo cha elementi \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), matrix B iliyohesabiwa kutoka derivatives za anga za shape functions iwe \(\bar{\boldsymbol{B}}\), na matrix B ya kawaida iliyohesabiwa katika integration point \(\boldsymbol{r}\) iwe \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Katika uhusiano wa displacement–strain kwa nodi \(\alpha\) na degree of freedom \(i\), kwa vipengele vya volumetric strain \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) tunaongeza

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

na kwa vipengele vya shear \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) hutumika \(\boldsymbol{B}\) ya kawaida. Stiffness ya elementi na vekta ya nguvu ya ndani huunganishwa kwa matrix B-bar iliyopatikana.

FrontISTR hutoa uundaji huu mahsusi kwa elementi ya hexahedron ya linear yenye nodi 8 (element ID 361; tazama Mfumo wa nambari za elementi), na unaweza kutumika kwa small deformation, Total Lagrange, na Updated Lagrange.

Mbinu ya F-bar¶

Chini ya finite deformation, mabadiliko ya ujazo huathiri kwa njia nonlinear kupitia deformation gradient \(\boldsymbol{F}\). Mbinu ya F-bar [deSouzaNeto1996] hutekeleza hatua dhidi ya volumetric locking inayolingana na B-bar katika kiwango cha deformation gradient.

Uwiano wa ujazo wa deformation gradient uliotathminiwa kwenye kituo cha elementi \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) uwe \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), na uwiano wa ujazo kwenye integration point uwe \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Deformation gradient kwenye integration point hubadilishwa kuwa

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Hivyo \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), na uwiano wa ujazo katika elementi nzima unalinganishwa na thamani ya kituo cha elementi. \(\bar{\boldsymbol{F}}\) baada ya uingizwaji hutumika kutathmini stress na kuunda matrix ya strain–displacement; katika stiffness ya elementi, tangent matrix huunganishwa ikijumuisha terms za ziada zinazotokana na uingizwaji huu.

FrontISTR imetekeleza mbinu ya F-bar mahsusi kwa elementi ya hexahedron ya linear yenye nodi 8, na inaweza kutumika kwa small deformation na pia nonlinear geometry ya Total Lagrange / Updated Lagrange.

Elementi incompatible¶

Elementi ya hexahedron ya linear yenye nodi 8 haina strain modes zinazohitajika kwa bending, na huonyesha bending locking katika matatizo yanayotawaliwa na bending. Elementi incompatible [Taylor1976] huingiza displacement modes za ziada ndani ya elementi ili kufidia upungufu huu.

Mbali na nodal displacement \(\boldsymbol{u}^e\) ya elementi, degrees of freedom za incompatible mode \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) zinazokuwepo ndani ya elementi pekee huingizwa kama mwelekeo 3 × modes 3 kwa elementi, na uga wa displacement hukadiriwa kwa

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Kwa natural coordinates \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), incompatible shape functions huchukuliwa kuwa \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), na \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Haziwahakikishii continuity kwenye mipaka ya elementi, lakini huongeza ndani ya elementi nafasi inayoweza kuwakilisha strains za bending modes.

Stiffness ya elementi kwanza huunganishwa kwa block decomposition ya external DOF–internal DOF

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Baada ya kuunganishwa katika umbo hili, static condensation hufanywa kuondoa degrees of freedom za ndani kwa \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), na kutoa stiffness ya elementi yenye external DOF pekee

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

ambayo hupitishwa kwenye global assembly.

FrontISTR imetekeleza elementi incompatible mahsusi kwa elementi ya hexahedron ya linear yenye nodi 8 (C3D8IC), na inaweza kutumika kwa small deformation, Total Lagrange, na Updated Lagrange.

Elementi mixed za U-P¶

Wakati mbinu za B-bar na F-bar husahihisha sehemu ya volumetric ndani ya mfumo unaotegemea displacement, elementi mixed ya u-p (U-P) hutumia mixed formulation [Bathe1996] inayoingiza pressure \(\lambda\) kama uga usiojulikana ulio huru kutoka displacement. Kwa nyenzo karibu zisizobanika, kama nyenzo za mpira zenye Poisson ratio karibu sana na 0.5 au metali baada ya plastic deformation, kutekeleza sharti la ujazo usiobadilika kwa displacement field pekee husababisha volumetric locking; kutumia pressure kama kigezo huru hupunguza sharti hili.

Stress hugawanywa katika sehemu ya deviatoric na pressure kama

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

ambapo \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) ni deviatoric elastic matrix inayopatikana kwa kuondoa kutoka elastic matrix sehemu ya volumetric inayolingana na bulk modulus \(K\). Pressure \(\lambda\) na volumetric strain \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) zinaunganishwa na sharti kupitia compressibility \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Discretization inayotumia displacement \(\boldsymbol{u}\) na pressure \(\lambda\) kama unknowns hutoa mfumo coupled wa elementi

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

Hapa \(\mathbf{K}_{uu}\) ina mchango wa deviatoric elasticity na, kwa finite deformation, geometric stiffness; \(\mathbf{K}_{up}\) huunganisha volumetric strain na pressure; na \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) ni term ya pressure stabilization (\(\boldsymbol{N}_p\) ni pressure shape function). Kwa kuwa pressure DOF zimefungwa ndani ya elementi,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

static condensation hufanywa kwa umbo hili, na effective stiffness yenye external (displacement) DOF pekee hupitishwa kwenye global assembly.

FrontISTR imetekeleza elementi U-P mahsusi kwa elementi ya hexahedron ya linear yenye nodi 8, ikiwa na pressure DOF moja kwa elementi (constant ndani ya elementi). Inaweza kutumika kwa small deformation, Total Lagrange, na Updated Lagrange. Katika Updated Lagrange, deviatoric stress husasishwa kwa objective stress rate (aina ya Jaumann/Hughes-Winget), kisha pressure \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) hutumika kutoka thamani iliyopatikana kwa static condensation.

Elementi shell¶

Kwa miundo nyembamba ya plate/shell hutumika elementi shell zinazotegemea nadharia ya Reissner-Mindlin plate/shell. Kadiri unene unavyopungua, elementi plate/shell za order ya chini zinazotegemea displacement hukadiria transverse shear strain kupita kiasi kupitia utaratibu unaofanana na volumetric locking (shear locking), na stiffness ya bending modes huongezeka kupita kiasi. Mbinu ya MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] huepuka tatizo hili kwa kusampuli upya vipengele vya shear strain pekee katika tying points zilizobainishwa ndani ya elementi na ku-interpolate sampuli hizo tena ndani ya elementi.

Nodi za elementi shell ya MITC ziko kwenye midsurface ya uso uliopinda, na kila nodi ina degrees of freedom 6: vipengele 3 vya translation na vipengele 3 vya rotation kuhusu normal ya midsurface. Stiffness ya elementi hutathminiwa kwa Gaussian integration ya 3D inayojumuisha natural coordinates za midsurface na mwelekeo wa unene, na unene wa plate \(h\) hutolewa kama sifa ya elementi wakati wa hesabu ya constitutive law.

FrontISTR hutoa MITC3 (element ID 731), MITC4 (741), na MITC9 (743), zinazowakilishwa kwa layer moja ya midsurface, pamoja na layered shell elements MITC3-shell361 (761, nodi 3\(\times\)2, DOF 3 kwa nodi) na MITC4-shell361 (781, nodi 4\(\times\)2, DOF 3 kwa nodi), zenye nodi zilizopangwa katika layers mbili kupitia unene. Katika layered shell elements, nodal DOF ni vipengele 3 vya translation pekee, na bending modes zinazolingana na rotational DOF huwakilishwa na mpangilio wa layers mbili.

Elementi beam¶

Vipengele vya mstari kama girders na frame structures hugawanywa kwa elementi beam. FrontISTR hutumia Timoshenko beam formulation inayozingatia shear deformation na kueleza bending na shear kama functions za translational na rotational DOF.

Kila nodi ya beam ina degrees of freedom 6: vipengele 3 vya translation na vipengele 3 vya rotation kuhusu mhimili wa beam na transverse axes. Stiffness ya elementi hutathminiwa kwa numerical integration ya 1D kando ya mhimili wa beam. Cross-sectional area \(A\) na second moment of area \(I\) katika mielekeo ya bending na torsion hutolewa kama beam section properties; pamoja na Young’s modulus \(E\) na shear modulus \(G\) za nyenzo, huunda stiffness coefficients za axial extension, bending, torsion, na shear.

FrontISTR hutoa elementi straight beam yenye nodi 2 (element ID 611) na elementi hybrid ya tetrahedral solid–beam yenye nodi 4 inayowakilishwa kwa nodi 3 (641, kwa mixed degrees of freedom).

Vipengee vinavyohusiana¶

Uundaji wa elementi solid za 3D — Ulinganisho na uundaji wa kawaida
Mfumo wa nambari za elementi na maktaba ya shape functions — Element type ID
Maktaba ya elementi (vipengele) — Mwongozo wa kuchagua kila elementi