Udiscretishaji wa Kazi Pepe ya Nguvu za Ndani¶

Mlinganyo wa kazi pepe wakati \(t + \Delta t\) ulioonyeshwa katika Mfumo wa uchanganuzi wa nyongeza una maumbo mawili, Updated Lagrange na Total Lagrange, kulingana na uchaguzi wa usanidi wa marejeo. Katika sura hii, ukadiriaji wa elementi finiti ulioanzishwa katika Funksi za umbo na ukadiriaji wa elementi finiti na Derivative za nafasi za funksi za umbo hutumiwa kudiscretisha katika nafasi kazi pepe ya nguvu za ndani ya maumbo yote mawili na kupata vekta za nguvu za ndani za elementi \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) na \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Kwa elementi \(e\), nodi zinazoiunda ni \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); uhamisho ni \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), na vekta ya uhamisho wa nodi za elementi hupangwa kama \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Uhamisho pepe \(\delta \boldsymbol{u}^e\) hufafanuliwa kwa mpangilio huohuo. Uhamisho ndani ya elementi huingizwa kwa funksi za umbo kama \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Kazi pepe ya nguvu za ndani katika mbinu ya Updated Lagrange¶

Katika mbinu ya Updated Lagrange, usanidi wa sasa \({}^{t}\Omega\) wakati \(t\) hutumiwa kama usanidi wa marejeo, na kazi pepe ya nguvu za ndani huandikwa kwa mkazo wa Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) na sehemu ya mstari ya strain ya Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) kama

Kila kipengele cha \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) kinaweza kuandikwa kama mchanganyiko wa mstari wa derivative za funksi ya umbo \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) dhidi ya viwianishi \(\boldsymbol{x}\) vya usanidi wa sasa na uhamisho pepe wa nodi \(\delta u^e_{i\alpha}\). Katika nukuu ya Voigt,

hupatikana. Bloku ya nodi \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) ni matriki ya \(6 \times 3\) inayopanga \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) kwa kanuni ya Voigt, na \(\boldsymbol{B}_L\) ni matriki ya uhusiano wa strain na uhamisho kwa mbinu ya UL. Kwa kubadilisha hii katika kazi pepe ya nguvu za ndani na kutenganisha \(\delta \boldsymbol{u}^e\), tunapata

Bloku ya nodi \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) ya \(\boldsymbol{q}^e\) ndiyo nguvu ya ndani ya elementi \(\Omega^e\) inayotenda kwenye nodi yake \(\alpha\).

Kazi pepe ya nguvu za ndani katika mbinu ya Total Lagrange¶

Katika mbinu ya Total Lagrange, usanidi wa marejeo \(\Omega_0\) hutumiwa kama usanidi wa marejeo, na kazi pepe ya nguvu za ndani huandikwa kwa mkazo wa pili wa Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) na strain ya Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) kama

Mabadiliko \(\delta \boldsymbol{E}\) hugawanywa katika kipengele cha mstari dhidi ya uhamisho pepe na kipengele kisicho cha mstari chenye bidhaa na gradient ya uhamisho wa sasa \(\partial u_k/\partial X_j\):

Kipengele cha mstari kinaweza kuandikwa kwa kutumia bloku ya nodi \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) inayopatikana kwa kutumia kanuni ileile ya mpangilio ya mbinu ya UL kwa \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\):

(kwa sababu tu usanidi wa marejeo unatofautiana, vipengele hubadilika kutoka \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) hadi \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); alama hiyo hiyo hutumiwa kama katika mbinu ya UL). Kipengele kisicho cha mstari huandikwa kwa bloku ya nodi \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) inayopanga bidhaa za gradient ya uhamisho wa sasa \(\partial u_k/\partial X_j\) na \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) kulingana na kanuni ya Voigt:

Kwa hiyo \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), na \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) ndiyo matriki ya uhusiano wa strain na uhamisho kwa mbinu ya TL. Kwa kubadilisha hii katika kazi pepe ya nguvu za ndani tunapata

Bloku ya nodi \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) ndiyo nguvu ya ndani ya elementi \(\Omega^e_0\) inayotenda kwenye nodi yake \(\alpha\).

Ulinganifu wa UL/TL na mtiririko wa hesabu¶

Vekta za nguvu za ndani za elementi katika mbinu za Updated Lagrange na Total Lagrange zinahusiana kama ifuatavyo.

Zote zinaweza kuchakatwa kwa utaratibu uleule: kujenga \(\boldsymbol{B}_L\) kutokana na derivative za nafasi za funksi za umbo; katika mbinu ya TL, kujenga na kuongeza \(\boldsymbol{B}_{NL}\) kutokana na gradient ya uhamisho wa sasa; kusasisha mkazo (\(\boldsymbol{\sigma}\) au \(\boldsymbol{S}\)) kulingana na sheria ya constitutive; na kufanya ujumuishaji wa namba wa \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) au \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) juu ya eneo la elementi katika nukta za ujumuishaji (Ujumuishaji wa namba). Isipokuwa kubadili usanidi wa marejeo (viwianishi vya nodi na ujenzi wa matriki \(\boldsymbol{B}\)) na kubadilisha tensor ya mkazo, uchakataji ni wa pamoja; kwa hiyo FrontISTR hutekeleza hesabu za nguvu za ndani za mbinu zote mbili kwa subroutine za pamoja. Uunganishaji wa vekta za nguvu za ndani za elementi \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\) kwenda kwenye vekta ya nguvu za ndani ya jumla unashughulikiwa katika Kazi pepe ya nguvu za nje na uunganishaji wa milinganyo ya jumla.

Mada zinazohusiana¶

• Kanuni ya kazi pepe — Mlinganyo wa kuanzia
• Mfumo wa uchanganuzi wa nyongeza — Tamko la matawi TL/UL
• Derivative za nafasi za funksi za umbo — Vipengele vya matriki B
• Kazi pepe ya nguvu za nje na uunganishaji wa milinganyo ya jumla — Kwenda kwenye vekta ya nguvu za ndani ya jumla
• Matriki ya ugumu wa tangent — Uwekaji mstari kwa derivative ya muda ya nguvu za ndani
• Orodha ya alama za kiasi cha kimwili