Shape functions na makadirio ya vipengele vya mwisho¶

Ili kushughulikia weak form ya kanuni ya kazi halisi kwa kompyuta, domain ya kitu hugawanywa katika idadi yenye ukomo ya vipengele, na coordinates za material points, uhamisho na test functions ndani ya kila kipengele huinterpolate kwa nodal values na shape functions. Spatial derivatives za shape functions zinaelezwa katika Spatial derivatives za shape functions, discretization ya weak form katika Udiscretishaji wa kazi halisi ya nguvu ya ndani, na maumbo maalum ya shape functions kwa kila aina ya kipengele katika Mfumo wa nambari za vipengele na maktaba ya shape functions na sehemu zinazofuata.

Ugawaji wa domain na jumla ya integrals za vipengele¶

Domain \(\Omega_0\) katika reference configuration na domain \(\Omega\) katika current configuration hukadiriwa kama muungano wa vipengele \(\Omega^e_0\) na \(\Omega^e\), mtawalia:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) ni nambari ya kipengele, na mipaka ya vipengele hushirikiwa na vipengele jirani). Hivyo volume na surface integrals za kanuni ya kazi halisi hugawanywa kuwa jumla ya integrals kwa kila kipengele:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(kwa current configuration ni sawa kwa kubadilisha \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\)). Kuanzia hapa, tathmini ya weak form inakuwa uundaji wa integrals kwa kila kipengele.

Interpolation kwa nodal values na shape functions (isoparametric elements)¶

Kila kipengele \(\Omega^e_0\) kina nodi \(n_e\). Coordinates za reference configuration na nodal displacement za nodi ya kipengele \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) huandikwa \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Element nodal vectors \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) na \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) hupatikana kwa kuchukua kutoka global nodal vectors \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (ambapo \(n_g\) ni jumla ya nodi) components za nodi zinazounda kipengele \(e\) pekee.

Kwa natural coordinates \(\boldsymbol{r}\), ambazo ni local coordinates ndani ya elementi, tunafafanua shape functions \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) na kuinterpolate material coordinates, displacement, na test functions ndani ya elementi kwa shape functions zilezile (isoparametric element na Galerkin method):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Shape functions huundwa kutimiza sifa mbili zifuatazo, na umbo la kipengele huchaguliwa ili mapping \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) kutoka natural coordinates hadi material coordinates iwe one-to-one ndani ya kipengele:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) ni point ya natural coordinates inayolingana na nodi \(\alpha\), na \(\delta_{\alpha\beta}\) ni Kronecker delta). Mlinganyo wa kwanza huhakikisha uwezo wa kuzalisha rigid-body translation, na wa pili huhakikisha thamani iliyointerpolate kwenye nodi inalingana na nodal value. Maumbo maalum ya \(n_e\) na \(N_\alpha^e\) kwa kila aina ya kipengele yanaonyeshwa katika Mfumo wa nambari za vipengele na maktaba ya shape functions na kuendelea. Ili kupunguza utata wa alama, utegemezi kwa aina ya kipengele huwakilishwa na superscript \(e\) ya kila kipengele.

Kwa kanuni hizi za interpolation, integrand ya weak form inaweza kuonyeshwa kwa element nodal values \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) na \(N_\alpha^e\) pekee. Kwa upande mwingine, strain hutokana na displacement iliyointerpolate na uhusiano wa strain-displacement, na stress hutokana na strain hiyo na sheria ya constitutive ya nyenzo; hazipatikani kwa interpolation ya moja kwa moja ya nodal values. Quantities hizi hutathminiwa katika integration points ndani ya kipengele (Numerical integration).

Kanuni ya mpangilio wa global nodal vector¶

Physical quantities zinazogawiwa kwa nodes hupangwa katika global nodal vector kwa mpangilio wa kupanda wa node number → degree of freedom. Kwa node \(\alpha\), tukitaja degree-of-freedom component \(i\) kuwa \(u_{i\alpha}\), katika 3D (\(i=1,2,3\)) na 2D (\(i=1,2\)) tuna, mtawalia

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Coordinates \(\boldsymbol{X}^n\) na test function \(\delta\boldsymbol{u}^n\) hufuata mpangilio huo huo. Kuanzia hapa, mabadiliko ya milinganyo katika matrix/vector form yataelezwa kwa 3D kama mwakilishi.

Vipengee vinavyohusiana¶

Kanuni ya kazi halisi — Weak form inayodiskretishwa
Spatial derivatives za shape functions — Maandalizi ya Jacobian na B matrix
Mfumo wa nambari za vipengele na maktaba ya shape functions — Shape functions kwa kila aina ya kipengele