Unyumbufu wa Mstari¶

Sura hii inahusu sheria ya constitutive (sheria ya Hooke) ya nyenzo za unyumbufu wa mstari. Kwa maelezo ya uchaguzi wa modeli na namna ya kutaja ingizo, rejelea sehemu ya vipengele 03_material.

Tukio (mwitikio wa unyumbufu wa mstari)¶

Mwili wa unyumbufu wa mstari ni nyenzo ambayo, katika eneo ambako strain chini ya mzigo ni ndogo vya kutosha, ina uhusiano wa mstari kati ya mkazo na strain na mwitikio unaorejea katika hali ya awali bila kutegemea historia, ambapo strain yote hutoweka mzigo unapoondolewa. Tofauti na plastisiti au creep, haina vigezo vya ndani vinavyowakilisha hali (kama strain ya plastiki au strain ya mnato), na mkazo huamuliwa kwa namna ya kipekee na strain ya wakati huo pekee.

Katika eneo la uharibifu mdogo hutumiwa mkazo wa Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) na strain ndogo \(\boldsymbol{\varepsilon}\); katika eneo la uharibifu mkubwa (matatizo yenye mizunguko mikubwa lakini strain yenyewe ikiwa ndogo), hutumiwa mkazo wa pili wa Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) na strain ya Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (nyenzo ya St.Venant-Kirchhoff).

Sheria ya constitutive¶

Nyenzo ya unyumbufu wa mstari isotropiki¶

Katika eneo la uharibifu mdogo, sheria isotropiki ya Hooke huandikwa kwa kutumia konstanti za Lamé \(\lambda, \mu\) kama

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Katika umbo la vipengele,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

na contraction maradufu na strain hutoa \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Konstanti za Lamé zinahusiana na moduli ya Young \(E\) na uwiano wa Poisson \(\nu\) kama ifuatavyo:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Katika nukuu ya Voigt, uhusiano kati ya vekta ya strain \(\hat{\varepsilon}\) na vekta ya mkazo \(\hat{\sigma}\) huandikwa \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), na matriki ya nyenzo ya pande tatu \(D\) ni

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

ambayo ndiyo uwakilishi wa matriki unaotumiwa katika utekelezaji.

Nyenzo ya unyumbufu wa mstari orthotropiki¶

Kwa nyenzo ambazo konstanti za unyumbufu hutofautiana kulingana na mhimili mkuu, hutumiwa modeli orthotropiki yenye konstanti tisa huru: moduli za Young katika mielekeo ya mihimili mikuu \(E_1, E_2, E_3\), uwiano wa Poisson kati ya mihimili mikuu \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\), na moduli za shear \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Kwa umbo mahususi la matriki \(D\), rejelea marejeo ya kawaida.

Eneo la uharibifu mkubwa: nyenzo ya St.Venant-Kirchhoff¶

Kwa matatizo yanayojumuisha mizunguko mikubwa lakini strain yenyewe ikiwa ndogo, nyenzo ya St.Venant-Kirchhoff hutumiwa kama sheria ya unyumbufu wa mstari inayohusisha mkazo wa pili wa Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) na strain ya Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Ufafanuzi wa konstanti za Lamé \(\lambda, \mu\) ni sawa na katika uharibifu mdogo. Hata hivyo, kwa kuwa jozi ya ufafanuzi wa mkazo na strain ni tofauti, hii ni sheria tofauti ya constitutive na sheria ya Hooke ya uharibifu mdogo.

Nyenzo hypoelastic¶

Katika mbinu ya Updated Lagrange, hutumiwa nyenzo hypoelastic yenye sheria ya unyumbufu wa mstari kati ya kiwango cha Jaumann cha tensor ya mkazo wa Kirchhoff wa jamaa \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) na tensor ya kiwango cha uharibifu \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Hapa pia, ufafanuzi wa \(\boldsymbol{C}\) kwa konstanti za Lamé ni sawa na hapo juu, lakini kwa kuwa jozi ya mkazo na strain ni tofauti, hii ni sheria tofauti ya constitutive. Kwa maelezo ya jinsi \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) inavyosasishwa kupitia ujumuishaji wa muda (ujumuishaji wa Euler wa mbele na ukadiriaji wa tofauti ya kati), rejelea tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Upunguzaji kwa uchanganuzi wa pande mbili na elementi za shell¶

Mkazo wa tambarare (\(\sigma_{33} = 0\))¶

Kwa mkazo wa tambarare unaowakilisha upakiaji wa sahani nyembamba na shell, huchukuliwa \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), na hutumiwa \(D\) ambapo kipengele cha strain nje ya tambarare \(\varepsilon_{33}\) kimeondolewa kialjebra:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Strain ya tambarare (\(\varepsilon_{33} = 0\))¶

Kwa strain ya tambarare inayowakilisha sehemu ya msalaba ya muundo mrefu uliozuiwa katika mwelekeo wa unene, huchukuliwa \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Ulinganifu wa mhimili¶

Katika uchanganuzi wa ulinganifu wa mhimili unaoshughulikia matatizo yaliyo sawia katika mwelekeo wa \(\theta\) kwenye viwianishi vya silinda \((r, \theta, z)\), huhifadhiwa vipengele vinne \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) na \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), na

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

hupatikana.

Elementi za shell (mkazo wa tambarare + shear ya kuvuka)¶

Katika elementi za shell, mkazo wa ndani ya tambarare hushughulikiwa kama mkazo wa tambarare, na kwa vipengele vya strain ya shear ya kuvuka \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) hutumiwa \(\kappa\, G\) pamoja na kipengele cha urekebishaji wa shear \(\kappa\) (kwa kawaida \(\kappa = 5/6\)). Kwa uundaji mahususi wa kila elementi, rejelea Uundaji wa hali ya juu wa elementi. Vipimo katika sehemu ya vipengele 03_material vinavyosema kuwa “elementi za shell zinatumia unyumbufu wa mstari pekee” vinatokana na urahisishaji huu wa kushughulikia hali ya ndani ya tambarare kama mkazo wa tambarare.

Utegemezi wa halijoto¶

Moduli ya Young \(E\), uwiano wa Poisson \(\nu\), na mgawo wa upanuzi wa mstari \(\alpha\) kwa kawaida hutajwa kama funksi za halijoto \(T\). Katika FrontISTR, thamani huingizwa kwa mfuatano wenye kikomo wa nukta za halijoto \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), na halijoto \(T\) wakati wa hesabu hutathminiwa kwa interpolation ya mstari kati ya nukta jirani. Kwa halijoto nje ya masafa (\(T < T_1\) au \(T > T_n\)), hutumiwa thamani ya mwisho wa karibu zaidi, \(T_1\) au \(T_n\), kama extrapolation ya konstanti.

Kwa utegemezi wa halijoto wa sifa za joto na upitishaji joto (msongamano, joto mahususi, na upitishaji joto), rejelea Sifa za joto. Kanuni za interpolation ni zilezile kwa sifa hizi.

Mada zinazohusiana¶

Nukuu za tensor na misingi ya hisabati — Kanuni za nukuu ya Voigt na nafasi ya matriki ya nyenzo \(D\)
Mwendo, uharibifu na strain — Maelezo ya jumla ya gradient ya uharibifu na tensor ya strain
Hyperelasticity — Upanuzi hadi mwitikio unaorejea katika hali ya awali unaojumuisha strain kubwa
Elastoplasticity — Modeli hypoelastic na plastiki zinazojumuisha strain ya plastiki
Sifa za joto — Sifa zinazotumiwa katika upitishaji joto na kuunganisha mkazo wa joto
Data ya nyenzo (vipengele) — Chaguo za modeli na namna ya kuzichagua