Иди на текст

Нестационарна анализа провођења топлоте

Приказују се временска дискретизација и итеративни поступак решавања за анализу провођења топлоте у чврстом телу методом коначних елемената (Finite Element Method). За једначину која управља континуумом и граничне услове погледајте Једначину провођења топлоте.

Дискретизована једначина (полазна тачка)

Дискретизацијом једначине провођења топлоте (једначина провођења топлоте (gov_he_main)) Galerkin-овом методом добија се

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

при чему је

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Овде су \(K\), \(M\), \(F\) и \(N\), редом, матрица провођења топлоте (укључујући конвекционе и радијационе чланове граничног доприноса), матрица масе, вектор топлотног оптерећења и матрица функција облика. Дефиниције ознака својстава (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) итд.) дате су у Једначини провођења топлоте.

Временска дискретизација и итеративни поступак решавања

Једначина \(\eqref{eq:2.4.8}\) је нелинеарна и нестационарна. Дискретизујмо сада време назадном Euler-овом методом и, када је температура у тренутку \(t=t_0\) позната, израчунајмо температуру у тренутку \(t=t_0+\Delta t\) помоћу следеће једначине.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Овде је температурни вектор \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) приближно решење једначине \(\eqref{eq:2.4.13}\). Размотримо његово побољшање ради добијања прецизнијег решења \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

У ту сврху најпре запишимо температурни вектор на следећи начин.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Производ матрице провођења топлоте и температурног вектора, као и матрицу масе, приближно изражавамо следећим једначинама.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Уврштавањем једначина \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) и \(\eqref{eq:2.4.16}\) у једначину \(\eqref{eq:2.4.13}\), а затим занемаривањем чланова другог и вишег реда, добија се

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Даље се матрица коефицијената на левој страни приближно оцењује следећом једначином.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Овде је \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) тангентна матрица крутости.

На крају, итеративним израчунавањем помоћу следеће једначине може се одредити температура у тренутку \(t=t_0+\Delta t\).

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Посебно, у стационарној анализи итеративни прорачун се изводи следећом једначином.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

При избору временског инкремента \(\Delta t\) у нестационарној анализи, пошто се за временску дискретизацију користи имплицитна метода, уопштено не постоји ограничење његове величине. Међутим, ако је временски инкремент \(\Delta t\) превелик, повећава се број итерација потребних за конвергенцију. Уопштено, превелик временски инкремент \(\Delta t\) повећава број итерација. У имплементацији се прати величина вектора резидуала; ако је конвергенција спора, \(\Delta t\) се смањује, а ако је број итерација мали, \(\Delta t\) се повећава аутоматском контролом инкремента (→ за детаље погледајте Контролу корака).

Повезане ставке

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status