Анализа фреквенцијског одзива¶

Формулација проблема¶

Анализа фреквенцијског одзива одређује амплитуду и фазу стационарног одзива система у фреквенцијском домену када се спољашња сила хармонијски мења са временом. Пошто се управљачка једначина кретања различито третира са пригушењем и без њега, ово поглавље најпре изводи сопствене модове из слободних вибрација без пригушења, а затим их користи као модалну базу за развој пригушеног хармонијског одзива.

Слободне вибрације без пригушења и сопствени модови¶

Када се пригушење занемари, једначина кретања је

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Развијањем померања по сваком сопственом моду добија се

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Уврштавањем овог израза у једначину \(\eqref{eq:2.6.1}\) добија се

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Ово је генерализовани проблем сопствених вредности. Нумеричке методе решавања, укључујући инверзну итерацију са померајем и Lanczos-ову методу, обрађене су у Модалној анализи. Овај одељак сажима својства добијених сопствених фреквенција и сопствених модова која се користе у накнадном развоју хармонијског одзива.

Реалност сопствених фреквенција¶

Може се показати да је сопствена фреквенција реална на следећи начин. Нека је \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Узимањем комплексно конјугованог израза једначине \(\eqref{eq:2.6.3}\) добија се једначина \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Множењем са \(\overline{U}_J^T\) добија се

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Из једначине \(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Пошто је матрица масе симетрична позитивно дефинитна, за ненулти сопствени вектор важи

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Према томе,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Дакле, \(\omega_j^2 = \lambda_j\) је реално.

Ортогоналност и нормализација сопствених модова¶

Размотримо два различита мода.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Следи да је

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

и, када су сопствене вредности различите,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Према томе, различити сопствени модови су ортогонални у односу на матрицу масе. За исти мод, нормализација у односу на матрицу масе као у једначини \(\eqref{eq:2.6.12}\) поједностављује даљи поступак.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Хармонијски одзив са пригушењем¶

Затим се приказује формулација анализе фреквенцијског одзива са пригушењем. Управљачка једначина кретања дата је једначином \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Претпоставља се да је члан пригушења Rayleigh-овог типа и изражава се једначином \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Користећи сопствене векторе добијене модалном анализом, вектор померања у времену t може се развити као у једначини \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Претпоставимо да је члан спољашње силе хармонијског облика

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Затим одређујемо \(b_{j}(t)\). Пошто једначина кретања у једначини \(\eqref{eq:2.6.13}\) има облик принудних вибрација,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

важи. Реални и имагинарни део коефицијента развоја \(b_{j}(t)\) дати су једначинама \(\eqref{eq:2.6.18}i\) и \(\eqref{eq:2.6.19}\), редом.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Овим се добијају тражени коефицијенти хармонијског одзива.

Повезане теме¶

Модална анализа — Формулација основног проблема сопствених вредности
Методе динамичке анализе — Динамичка анализа у временском домену
Типови анализа — Функционални преглед анализе фреквенцијског одзива