Модална анализа¶

Генерализовани проблем сопствених вредности¶

За анализу слободних вибрација континуума, домен се просторно дискретизује и моделује као систем концентрисаних маса са више степени слободе, као што је приказано на Слици 2.3.1. За проблем непригушених слободних вибрација, владајућа једначина (једначина кретања) гласи:

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Овде је $u$ генерализовани вектор померања, $M$ матрица масе, а $K$ матрица крутости. Нека је сопствена кружна фреквенција $\omega$, нека су $a$, $b$ и $c$ произвољне константе, а $x$ вектор. Дефинишимо функцију

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Други извод овог израза је

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Уврштавањем ових израза у једначину $\eqref{eq:2.3.1}$ добија се

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

односно,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

се добија.

Према томе, ако се може наћи коефицијент $\lambda = \omega^2$ и вектор $x$ који задовољавају једначину $\eqref{eq:2.3.5}$, функција $u(t)$ је решење једначине $\eqref{eq:2.3.1}$.

Коефицијент $\lambda$ назива се сопствена вредност, а вектор $x$ сопствени вектор. Проблем њиховог одређивања из једначине $\eqref{eq:2.3.1}$ назива се генерализовани проблем сопствених вредности.

Пример система са више степени слободе при непригушеним слободним вибрацијама

Слика 2.3.1 Пример система са више степени слободе при непригушеним слободним вибрацијама

Својства матрица и претпоставке¶

За генерализовани проблем сопствених вредности $K x = \lambda M x$ добијен у претходном одељку, у овом приручнику се претпостављају следећа својства матрица. Ове претпоставке су основа конвергенције и области примене методе померене инверзне итерације и Ланцошеве методе описаних у наставку. Код комплексне матрице, транспоновање подразумева комплексно конјуговање, док је реална матрица симетрична. Конкретно, за матрицу $K$, ако је њена $ij$ компонента $k_{ij}$, а комплексно конјугована вредност од $k$ означена са $\bar{k}$, онда

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

важи следећа релација.

У овом приручнику претпоставља се да су матрице симетричне и позитивно дефинитне. Позитивно дефинитно значи да су све сопствене вредности позитивне; еквивалентно, матрица увек задовољава једначину $\eqref{eq:2.3.7}$ у наставку.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Померена инверзна итерација¶

У структурној анализи методом коначних елемената у пракси углавном нису потребне све сопствене вредности; у многим случајевима довољно је само неколико сопствених вредности нижег реда. HEC-MW је намењен великим проблемима, код којих су матрице велике и веома ретке (садрже много нултих елемената). Зато је важно ефикасно израчунати сопствене вредности модова нижег реда, узимајући ово својство у обзир.

Нека је $\sigma$ доња граница сопствених вредности. Једначина $\eqref{eq:2.3.5}$ тада се може трансформисати у следећи математички еквивалентан облик.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Ова трансформација има следећа корисна својства за прорачун.

Редослед модова се обрће.
Сопствене вредности близу $\rho$ пресликавају се у највеће вредности.

У стварном прорачуну највеће сопствене вредности се често добијају прве. Зато се, уместо на једначину $\eqref{eq:2.3.5}$, главни прорачун конвергенције примењује на једначину $\eqref{eq:2.3.8}$, са циљем да се најпре добију сопствене вредности близу $\rho$. Ова техника назива се померена инверзна итерација.

Ланцошева метода¶

Разлог за употребу (поређење са Јакобијевом методом)¶

Међу класичним методама добро је позната Јакобијева метода.

Ова метода је ефикасна када је матрица мала и густа. Међутим, пошто су матрице које HEC-MW обрађује велике и ретке, Јакобијева метода се не користи; уместо ње примењује се итеративна Ланцошева метода.

Алгоритам и карактеристике¶

Ову методу је предложио C. Lanczos педесетих година 20. века. Она представља алгоритам за свођење матрице на тридијагонални облик и има следеће карактеристике.

То је итеративна конвергентна метода и може напредовати уз задржавање реткости матрице.
Алгоритам се углавном састоји од производа матрице и вектора и веома је погодан за паралелизацију.
Добро је прилагођен геометријској подели домена повезаној са мрежама коначних елемената.
Ефикасан прорачун је могућ ограничавањем броја сопствених вредности и опсега модова који се траже.

Ланцошева метода полази од почетног вектора, узастопно генерише ортогоналне векторе и конструише базу потпростора. Сматра се бржом од методе потпростора, још једне итеративне методе, и широко се користи у програмима коначних елемената. Међутим, ова метода је осетљива на нумеричке грешке, које могу нарушити ортогоналност вектора и довести до прекида прорачуна. Зато су мере против таквих нумеричких грешака неопходне.

Геометријско тумачење (Криловљев потпростор)¶

Увођењем следеће замене променљивих у једначини $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

проблем се може записати као

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

се добија.

За одговарајући вектор $q_0$, примените линеарну трансформацију представљену матрицом $A$ (видети Слику 2.3.2).

$Линеарна трансформација вектора $q_0$ матрицом $A$$

Слика 2.3.2 Линеарна трансформација вектора $q_0$ матрицом $A$

Трансформисани вектор се ортогонализује у простору који разапиње заједно са изворним вектором. То јест, спроводи се Грам-Шмитова ортогонализација као што је приказано на Слици 2.3.2. Нека је добијени вектор $r_1$. Нормализујте га на јединичну дужину да бисте добили $q_1$ (Слика 2.3.3). Из $q_1$ истим поступком добијте $q_2$. У овом тренутку $q_2$ је ортогоналан и на $q_1$ и на $q_0$ (Слика 2.3.4). Настављањем истог прорачуна добијају се међусобно ортогонални вектори до реда матрице.

$Вектор ортогоналан на $q_0$: $q_1$$

Слика 2.3.3 Вектор ортогоналан на $q_0$: $q_1$

$Вектор ортогоналан на $q_1$ и $q_0$: $q_2$$

Слика 2.3.4 Вектор ортогоналан на $q_1$ и $q_0$: $q_2$

Посебно, Ланцошев алгоритам примењује Грам-Шмитову ортогонализацију на низ вектора $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

или еквивалентно $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$.

Овај низ вектора назива се Криловљев низ, а простор који он разапиње Криловљев потпростор. Када се у овом простору примени Грам-Шмитова ортогонализација, сваки нови вектор може се добити помоћу два најскорија вектора. Ово се назива Ланцошев принцип.

Тридијагонализација¶

У горњој итерацији прорачун за (i+1)-ви вектор може се записати као

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

где је

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

У матричном запису ово постаје

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

где је

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Према томе, сопствене вредности се добијају решавањем проблема сопствених вредности за тридијагоналну матрицу добијену из једначине $\eqref{eq:2.3.13}$.

Повезане теме¶

Анализа фреквентног одзива — Фреквентни одзив коришћењем резултата модалне анализе
Типови анализа — Функционални преглед модалне анализе