Методе динамичке анализе¶

У овом одељку приказане су методе анализе динамичких проблема применом директне временске интеграције. У наставку су дате формулације имплицитне и експлицитне методе.

Дискретизација једначине кретања (заједнички оквир)¶

TBD (биће допуњено у следећој фази).

Имплицитна метода (Newmark-β метода)¶

За динамичке проблеме на решавање једначине кретања приказане у наставку примењена је метода директне временске интеграције.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Овде је \(M\) матрица масе, \(C\) матрица пригушења, \(Q\) вектор унутрашњих сила, а \(F\) вектор спољашњих сила. Матрица масе се, чак и у нелинеарној анализи, сматра константном и независном од деформације.

Промене померања, брзине и убрзања у временском прираштају \(\Delta t\) апроксимирају се Newmark-\(\beta\) методом као у једначинама \(\eqref{eq:2.5.2}\) и \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Овде су \(\gamma\) и \(\beta\) параметри Newmark-\(\beta\) методе.

Као што је познато, за следеће вредности \(\gamma\) и \(\beta\) добија се метода линеарног убрзања, односно трапезно правило.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (метода линеарног убрзања)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (трапезно правило)

Уврштавањем једначина \(\eqref{eq:2.5.2}\) и \(\eqref{eq:2.5.3}\) у једначину \(\eqref{eq:2.5.1}\) добија се:

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Посебно, за линеарни проблем \(K_L\) је линеарна матрица крутости и важи \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Уврштавањем овог израза у претходну једначину добија се:

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Када је у геометријском граничном услову задато убрзање, из једначине \(\eqref{eq:2.5.2}\) добија се следеће померање.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Слично, на местима где је задата брзина, из једначине \(\eqref{eq:2.5.6}\) добија се следеће померање.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Овде је \(u_{is}(t+\Delta{t})\) чворно померање у времену \(t+\Delta{t}\), \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) чворна брзина у времену \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) чворно убрзање у времену \(t+\Delta{t}\), \(i\) је број степена слободе чвора, а \(s\) број чвора. Чланови масе и пригушења третирају се на следећи начин.

Третман члана масе¶

Матрица масе се у принципу третира као концентрисана матрица масе.

Третман члана пригушења¶

Члан пригушења третира се као Rayleigh-ово пригушење дато једначином \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Овде су \(R_m\) и \(R_k\) параметри Rayleigh-овог пригушења.

\(R_m\) и \(R_k\) задати картицом !DYNAMIC примењују се једнако на цео модел. Ако је потребно задати различите \(R_m\) и \(R_k\) за сваки материјал, у блоку !MATERIAL тог материјала задајте картицу !DAMPING. За елементе који припадају материјалу са задатим !DAMPING, елементна матрица пригушења израчунава се као \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) из матрице масе елемента \(M_i\) и тангентне матрице крутости \(K_i\), а затим се склапа у глобалну матрицу пригушења. Ова функција је важећа само за имплицитну методу.

Експлицитна метода (метода централних разлика)¶

Експлицитна метода полази од једначине кретања у времену t приказане у наставку.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Померања у временима \(t + \Delta t\) и \(t - \Delta t\) изражавају се Taylor-овим развојем око времена \(t\). Задржавањем чланова до другог реда по \(\Delta t\) добија се:

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Из разлике и збира једначина \(\eqref{eq:2.5.3}\) и \(\eqref{eq:2.5.4}\) добијају се следеће једначине.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Уврштавањем једначина \(\eqref{eq:2.5.12}\) и \(\eqref{eq:2.5.13}\) у једначину \(\eqref{eq:2.5.9}\) добија се:

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Посебно, за линеарни проблем важи \(Q(t) = K_L U(t)\), па претходна једначина постаје:

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Ако се матрица масе \(M\) узме као концентрисана матрица масе, а матрица пригушења као пропорционална матрица пригушења \(C = R_m M\), једначина \(\eqref{eq:2.5.15}\) не захтева решавање система једначина.

Стога се из једначине \(\eqref{eq:2.5.15}\) \(U(t+\Delta t)\) може добити следећом једначином.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Повезане теме¶

Типови анализе — Преглед функција динамичке анализе и смернице за избор
Референце