Тензорска нотација и математичке основе¶

У овом поглављу обједињена су правила тензорске нотације, индексне нотације и Voigt-ове нотације која се користе у наредним поглављима FrontISTR теоријског приручника. Овде су описана само чиста правила нотације која не зависе од дефиниција физичких величина. Правила нотације која зависе од конфигурације повезане са кретањем континуума (референтна/тренутна конфигурација), као што су разликовање великих и малих слова и разлика између материјалних и просторних извода, дата су у поглављу Кретање, деформација и напрезање, где се уводи појам конфигурације.

Тензорска нотација¶

Запис вектора и тензора подебљаним словима¶

Као типографско правило, скаларне величине и компоненте вектора и тензора пишу се обичним словима (на пример \(\rho\) и \(x_i\)), док се саме векторске и тензорске величине пишу подебљано (на пример \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) и \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Ајнштајнова конвенција сумирања¶

Ако није другачије наведено, примењује се Ајнштајнова конвенција сумирања: када се исти индекс у истом члану појави два пута, врши се сумирање по том индексу. На пример,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

а \(i,j\) компонента производа \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) тензора \(\boldsymbol{A}\) и \(\boldsymbol{B}\) је

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Као индексна конвенција, када се \(i, j, k, l, \ldots\) користе као индекси без додатног објашњења, они означавају индексе повезане са степенима слободе (\(1, 2, 3\) у три димензије), док мала грчка слова \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) употребљена као индекси означавају индексе повезане са чворовима који чине елемент.

Унутрашњи производ, транспоновање и тензорски производ¶

Транспоновани тензор \(\boldsymbol{A}\) означава се са \(\boldsymbol{A}^T\). Унутрашњи производ (двострука контракција) тензора другог реда \(\boldsymbol{A}\) и \(\boldsymbol{B}\) записује се као

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Унутрашњи производ вектора \(\boldsymbol{a}\) и \(\boldsymbol{b}\) је \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), а њихов тензорски производ је \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt-ова нотација¶

Напон и деформација су симетрични тензори другог реда у односу на степене слободе, а коефицијенти који описују линеарну везу између њих чине тензор четвртог реда. Непосредно руковање таквим тензорима у програму неповољно је са становишта рачунских трошкова и програмирања (вишедимензионални низови и дубоко угнежђене петље). Зато општи програми методе коначних елемената користе симетрију и компримују напон и деформацију у колонске векторе, а тензор еластичности четвртог реда у дводимензиону матрицу. То се назива Voigt-ова нотација.

У наставку се матрични или векторски приказ тензорске величине \(\boldsymbol{A}\) означава са \(\hat{A}\) ради разликовања од изворног тензора.

Векторски приказ напона и деформације¶

За симетрични тензор напона \(\boldsymbol{\sigma}\) и тензор деформације \(\boldsymbol{\varepsilon}\), у две димензије,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

а у три димензије,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

рукује се њима као колонским векторима приказаним изнад. Исто правило се примењује на изведене величине као што су варијације и диференцијали. Обратите пажњу да смичуће компоненте на страни деформације имају фактор 2 (на страни напона га нема). Захваљујући овој асиметрији, тензорски унутрашњи производ може компактно да се запише као векторски унутрашњи производ

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

При имплементацији је лако погрешно применити фактор 2 код смичућих компоненти деформације, па треба увек имати на уму правило „нема код напона / има код деформације“. Потпуно иста Voigt-ова конвенција примењује се и на величине у референтној конфигурацији (други Piola-Kirchhoff-ов напон \(\boldsymbol{S}\) и Green-Lagrange-ова деформација \(\boldsymbol{E}\)).

Матрични приказ тензора четвртог реда¶

За линеарну везу напона и деформације, \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (у компонентном облику, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), коришћењем симетрије \(\boldsymbol{\varepsilon}\) добија се

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

У три димензије, распоређивањем \(\tilde{C}\) као материјалне матрице 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\), изворна тензорска релација може да се изрази као

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

У наставку овог приручника, ако није другачије наведено, материјална матрица означава се са \(D\) (или \(\hat{C}\)). За конкретне компоненте код изотропне линеарне еластичности погледајте Линеарна еластичност.

Правила за диференцијалне операторе¶

Симетрични оператор градијента¶

Симетрични оператор градијента \(\nabla_S\) за векторско поље \(\boldsymbol{u}\) дефинише се као

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

У компонентном облику, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Деформација при малим деформацијама \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) може компактно да се изрази овим оператором. Разликовање конфигурација (референтне/тренутне) у односу на које се узимају градијенти код коначних деформација обрађено је у Кретање, деформација и напрезање.

Материјални временски извод¶

Материјални временски извод величине \(A\) (временски извод праћењем исте материјалне тачке) означава се тачком изнад, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Брзина и убрзање следе ову конвенцију.

Повезане теме¶

Кретање, деформација и напрезање — Појмови референтне/тренутне конфигурације и правила нотације зависна од конфигурације (велика/мала слова, материјални/просторни изводи)
Напон и закони одржања — Извођење једначина управљања употребом ове нотације
Принцип виртуелног рада — Употреба слабог облика и Voigt-ове нотације
Линеарна еластичност — Конкретан облик материјалне матрице \(D\)
Функције облика и апроксимација методом коначних елемената — Израчунавање крутости елемента употребом Voigt-ове нотације