Једначина провођења топлоте¶

Ово поглавље на нивоу континуума сумира владајућу једначину провођења топлоте коју FrontISTR обрађује и њене граничне услове. Временска дискретизација и FEM дискретизација препуштене су одељку о дискретизацији (L3d) и одељку о алгоритмима решавања (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Владајућа једначина¶

Једначина провођења топлоте у континууму дата је на следећи начин.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Овде \(\rho=\rho(x)\) означава густину масе, \(c=c(x,T)\) специфични топлотни капацитет, \(T=T(x,t)\) температуру, \(k=k(x,T)\) топлотну проводљивост, \(Q=Q(x,T,t)\) генерисање топлоте, \(x\) положај, а \(t\) време. \(k_x, k_y, k_z\) су топлотне проводљивости у одговарајућим смеровима за анизотропно провођење топлоте.

За конкретна топлотна својства, укључујући температурну зависност и анизотропију, видети Топлотна својства.

Гранични услови¶

Нека је посматрани домен \(S\), а његова граница \(\Gamma\). Уз претпоставку да је на целој \(\Gamma\) прописан или гранични услов Дирихлеовог типа или гранични услов Нојмановог типа, гранични услови су дати на следећи начин.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Овде се претпоставља да су функционални облици \(T_1\) и \(q\) познати. \(q\) је топлотни флукс који напушта границу. Гранични топлотни флукс \(q\) састоји се од следеће три компоненте.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Овде је \(q_s\) расподељени топлотни флукс, \(q_c\) топлотни флукс услед конвективног преноса топлоте, а \(q_r\) топлотни флукс услед преноса топлоте зрачењем.

Овде је \(Tc=Tc(x,t)\) температура околине за конвективни пренос топлоте, \(hc=hc(x,t)\) коефицијент конвективног преноса топлоте, \(Tr=Tr(x,t)\) температура околине за пренос топлоте зрачењем, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) коефицијент преноса топлоте зрачењем, \(\varepsilon\) емисивност, \(\sigma\) Штефан-Болцманова константа, а \(F\) фактор погледа.

За начин задавања ових услова у улазној датотеци видети Граничне услове и оптерећења у референци функција.

Слаби облик¶

Спрезање са структурном анализом¶

Повезане теме¶

Нестационарно провођење топлоте — Временска дискретизација и нелинеарна итерација
Топлотна својства — Формулација својстава материјала и температурне зависности
Функције облика и апроксимација методом коначних елемената — Оквир за FEM дискретизацију
Референца функција: Гранични услови и оптерећења — Унос граничних услова за анализу провођења топлоте