Оквир инкременталне анализе¶

Потреба за инкременталном анализом¶

Као што је претходно описано, у анализи проблема малих деформација анализа методом коначних елемената може се спровести применом принципа виртуелног рада, који је еквивалентан основним једначинама као што су једначине равнотеже, и дискретизацијом те једначине коначним елементима. Исти основни принцип виртуелног рада користи се и у анализи проблема коначних деформација који укључују велике деформације конструкција.

Међутим, код проблема коначних деформација, чак и ако се претпостави линеарност материјала, једначина принципа виртуелног рада постаје нелинеарна у односу на померање. За решавање нелинеарних једначина обично се изводе итеративни прорачуни применом итеративне методе.

У тим итеративним прорачунима користи се метод инкременталне анализе, при коме се прорачун спроводи по деловима за мале прираштаје оптерећења, а прираштаји се акумулирају све док се не достигне коначно деформисано стање. Када се претпоставља проблем малих деформација, при дефинисању деформације и напона не прави се посебна разлика између конфигурација пре и после деформације. То јест, под претпоставком малих деформација није важно да ли је конфигурација која се користи за опис основних једначина конфигурација пре или после деформације.

Када се инкрементална анализа спроводи за проблем коначних деформација, формулација се разликује у зависности од тога да ли се за референтну конфигурацију узима почетна конфигурација или конфигурација на почетку прираштаја. Први приступ назива се Total Lagrange методом, а други Updated Lagrange методом. За детаље видети референце на крају поглавља и повезани материјал.

Полазна једначина: принцип виртуелног рада у тренутку \(t'\)¶

Размотримо инкременталну анализу у којој је познато стање до тренутка \(t\), а непознато стање у тренутку \(t' = t + \Delta t\) (видети Слику 2.2.1). Једначине равнотеже, гранични услови и принцип виртуелног рада у тренутку \(t'\) (изражени у текућој конфигурацији помоћу Кошијевог напона \(^{t'}\sigma\) и линеарног дела Алмансијеве деформације \(^{t'} A_{(L)}\)) дати су у Принципу виртуелног рада.

Слика 2.2.1 Концепт инкременталне анализе

Међутим, пошто је ова полазна једначина записана у (непознатој) конфигурацији у тренутку \(t'\), стварни поступак решавања бира или почетну конфигурацију \(V\) у тренутку \(0\), или текућу конфигурацију \(^{t'} v\) у тренутку \(t\) као референтну конфигурацију, преписује једначину у инкременталном облику, а затим је решава:

• Total Lagrange метода — Као референтну користи почетну конфигурацију \(V\). Користе се други PK напон \(\boldsymbol{S}\) и Грин-Лагранжова деформација \(\boldsymbol{E}\).
• Updated Lagrange метода — Као референтну користи текућу конфигурацију \(^{t}v\) на почетку прираштаја. Користе се Кошијев напон \(\boldsymbol{\sigma}\) и линеарни део Алмансијеве деформације \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

За просторну дискретизацију обе формулације (B матрица и вектор унутрашњих сила) видети Дискретизацију унутрашњег виртуелног рада; за линеаризацију и конструисање тангентне крутости видети Тангентну матрицу крутости.

Повезане теме¶

• Принцип виртуелног рада — Главна полазна једначина (слаби облик у текућој и почетној конфигурацији)
• Дискретизација унутрашњег виртуелног рада — B матрице и вектори унутрашњих сила за TL/UL
• Тангентна матрица крутости — \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\) добијене линеаризацијом
• Њутн-Рафсонова метода — Итеративни алгоритам