Иди на текст

Принцип виртуелног рада

Полазећи од једначине равнотеже и граничних услова изведених у Напону и законима одржања, изводимо принцип виртуелног рада, који представља слаби облик граничног проблема механике континуума. Дискретизација методом коначних елемената почиње од овог слабог облика. Ово поглавље представља и облик у текућој конфигурацији (изражен помоћу Кошијевог напона и линеарног дела Алманзијеве деформације) и облик у референтној конфигурацији (изражен помоћу другог Пиола–Кирхофовог напона и Грин–Лагранжове деформације), показује њихову еквивалентност, а затим потврђује свођење на мале деформације.

Једначина равнотеже и гранични услови

Нека је \(\boldsymbol{g}\) запреминска сила која делује на континуум по јединици масе и размотримо тело које у текућој конфигурацији заузима домен \(\Omega\). Граница \(\Gamma\) дели се на геометријску границу \(\Gamma_B\), на којој је померање прописано као \(\bar{\boldsymbol{u}}\), и механичку границу \(\Gamma_t\), на којој је површинско напрезање прописано као \(\bar{\boldsymbol{t}}\), при чему важи \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) и \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). За статички проблем, једначина равнотеже добија се изостављањем инерцијалног члана из закона одржања количине кретања приказаног у Напону и законима одржања:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{у} \ \Omega \]

Гранични услови су

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{на} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{на} \ \Gamma_B \]

У наставку се принцип виртуелног рада изводи као слаби облик једначине равнотеже и механичког граничног услова \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Геометријски гранични услов \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) укључује се избором пробне функције.

Слаби облик у текућој конфигурацији

У слабом облику, допустиви простор за непознато померање и простор пробних функција дефинишу се редом као

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{на} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{на} \ \Gamma_B \} \]

Овде је \(d\) просторна димензија, \(H^1(\Omega)\) је Собољевљев простор функција чији су и сами чланови и први слаби изводи квадратно интеграбилни, а \(\delta\) означава варијацију. У представљању текуће конфигурације, \(\Omega\) је деформисана конфигурација; у стварном нумеричком решењу она се повлачи назад у референтну конфигурацију или у познату међуконфигурацију.

Множењем једначине равнотеже тежинском функцијом \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) и применом Гаусове теореме дивергенције и механичког граничног услова добија се следећи принцип виртуелног рада у текућој конфигурацији.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Овде је \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) линеарни део Алманзијевог тензора деформације, дефинисан са

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Његова варијација је \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Према томе, тражи се \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) тако да једначина виртуелног рада буде задовољена за свако \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Лева страна је виртуелни рад унутрашњих сила, а десна страна виртуелни рад спољашњих сила услед прописаног површинског напрезања и запреминске силе.

Пошто је ова једначина записана по деформисаном домену (текућој конфигурацији), стварни поступак решавања поново бира почетну конфигурацију \(\Omega_0\) (референтну конфигурацију) или познату међуконфигурацију као референтну конфигурацију, преписује једначину у инкременталном облику и затим је решава. За конкретан избор референтне конфигурације (укупни Лагранж / ажурирани Лагранж) и инкременталну декомпозицију погледајте Оквир инкременталне анализе.

Слаби облик у почетној конфигурацији

Размотримо тело које у референтној конфигурацији заузима домен \(\Omega_0\), са границом \(\Gamma_0\) подељеном на \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Повлачењем представљања текуће конфигурације назад у референтну конфигурацију добија се конјуговани пар напон–деформација који чине други Пиола–Кирхофов напон \(\boldsymbol{S}\) и Грин–Лагранжова деформација \(\boldsymbol{E}\). Принцип виртуелног рада у почетној конфигурацији је тада

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Овде је \(\rho_0\) густина масе у референтној конфигурацији, а по релацији одржања масе \(\rho_0 = J\rho\) овај облик је еквивалентан представљању запреминске силе у текућој конфигурацији.

Еквивалентност представљања у текућој и почетној конфигурацији

Виртуелни рад унутрашњих сила у два представљања поклапа се преко трансформације градијентом деформације \(\boldsymbol{F}\) и односом запремина \(J = \det \boldsymbol{F}\); односно,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Чланови спољашњих сила такође су еквивалентни захваљујући одржању масе и трансформацији површинског напрезања. Према томе, једначина виртуелног рада у текућој конфигурацији и она у почетној конфигурацији изражавају исти принцип у различитим конфигурацијама. Метода решавања која се односи на референтну конфигурацију одговара методи укупног Лагранжа, док метода која се односи на текућу конфигурацију (непосредно претходну конвергирану конфигурацију) одговара методи ажурираног Лагранжа.

Свођење на мале деформације

Под претпоставкама малих деформација \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) и \(J \approx 1\), разлика између текуће и референтне конфигурације нестаје, други PK напон поклапа се са Кошијевим напоном (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), а и Грин–Лагранжова деформација и линеарни део Алманзијеве деформације своде се на инфинитезималну деформацију \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Принцип виртуелног рада се тада своди на слаби облик изражен преко Кошијевог напона \(\boldsymbol{\sigma}\) и инфинитезималне деформације \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{на} \ \Gamma_B \]

Ово је слаби облик који се непосредно користи за дискретизацију у линеарно еластичној статичкој анализи малих деформација (Линеарна еластична статичка анализа (увод и додатак) полази од овог облика и показује формирање крутости елемента \(\boldsymbol{K}^e\) склапањем глобалне једначине \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Уврштавањем линеарно еластичног конститутивног закона \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) и записивањем \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) у Војтовој нотацији, слаби облик постаје

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

који има овај облик.

Повезане теме

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status