Напон и закони одржања¶

Ово поглавље систематизује дефиниције и међусобне односе тензора напона, заједно са једначинама равнотеже и симетријом напона изведеним из закона одржања масе, количине кретања и момента количине кретања. Три тензора напона — Кошијев напон \(\boldsymbol{\sigma}\), први Пиола–Кирхофов напон \(\boldsymbol{P}\) и други Пиола–Кирхофов напон \(\boldsymbol{S}\) — уводе се према томе која се конфигурација користи за референтну површину и вектор силе. За дефиниције конфигурације, кретања и градијента деформације погледајте Кретање, деформација и тензор деформације, а за списак симбола Списак симбола физичких величина.

Кошијев тензор напона¶

Нека је \(d\boldsymbol{f}\) сила која делује на инфинитезималну површину у тачки \(\boldsymbol{x}\) текуће конфигурације (површина \(d\Gamma\), спољашња јединична нормала \(\boldsymbol{n}\)), а вектор површинског напрезања \(\boldsymbol{t}\) нека се дефинише као сила по јединици површине преко \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) зависи и од положаја \(\boldsymbol{x}\) и од нормале \(\boldsymbol{n}\). Примена закона одржања количине кретања на инфинитезимални тетраедар показује да је \(\boldsymbol{t}\) линеаран по \(\boldsymbol{n}\), па постоји тензор другог реда \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) такав да

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

за свако \(\boldsymbol{n}\) (Кошијева теорема о напону). Овај тензор \(\boldsymbol{\sigma}\) назива се Кошијев тензор напона, а такође и стварни напон, јер представља силу по јединици површине мерену у односу на геометрију текуће конфигурације. Компонента \(\sigma_{ij}\) представља \(x_i\) компоненту силе по јединици површине која делује на инфинитезималну површину нормалну на координатну осу \(x_j\) у текућој конфигурацији.

Као што ће бити показано из закона одржања момента количине кретања, Кошијев напон је симетричан тензор:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

У три димензије зато има шест независних компоненти (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Векторизација напона у Војтовој нотацији претпоставља ову симетрију (погледајте Тензорска нотација и математичке основе). Кошијев напон се користи за излаз напона у геометријски нелинеарној анализи FrontISTR-а методом ажурираног Лагранжа и у анализи малих деформација.

Први и други Пиола–Кирхофови напони¶

Код коначних деформација често је погодно изразити напон у односу на површине и векторе у референтној конфигурацији, па се уводе два Пиола–Кирхофова тензора напона. Нека је површина инфинитезималне површи у референтној конфигурацији \(d\Gamma_0\), а њена спољашња јединична нормала \(\boldsymbol{N}\).

Први Пиола–Кирхофов напон (први PK напон, номинални напон) \(\boldsymbol{P}\) дефинише се као тензор напона добијен када се сила \(d\boldsymbol{f}\) из текуће конфигурације примени на инфинитезималну површину у референтној конфигурацији:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Коришћењем Нансонове формуле \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) заједно са Кошијевом теоремом о напону добија се веза са Кошијевим напоном

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Први PK напон у општем случају није симетричан.

Други Пиола–Кирхофов напон (други PK напон) \(\boldsymbol{S}\) дефинише се као тензор напона добијен повлачењем силе текуће конфигурације \(d\boldsymbol{f}\) назад у референтну конфигурацију помоћу \(\boldsymbol{F}^{-1}\) и њеном применом на инфинитезималну површину у референтној конфигурацији:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

И вектор силе и површина на коју делује изражени су величинама референтне конфигурације, због чега је тензор инваријантан на ротацију крутог тела и симетричан. Његов однос са првим PK напоном и трансформација из Кошијевог напона су

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Други PK напон се из хипереластичне функције енергије деформације \(W(\boldsymbol{C})\) изводи као \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) и у методи укупног Лагранжа користи се заједно са Грин–Лагранжовом деформацијом \(\boldsymbol{E}\) као радно-конјуговани пар \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Референтне конфигурације и својства симетрије су сажети у наставку. У граници малих деформација (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), сва три напона се поклапају.

Тензор напона	Референтна површина	Вектор силе	Симетрија	Примена
Кошијев напон \(\boldsymbol{\sigma}\)	Текућа конфигурација \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Текућа конфигурација \(d\boldsymbol{f}\)	Симетричан	Метода ажурираног Лагранжа / анализа малих деформација
Први PK напон \(\boldsymbol{P}\)	Референтна конфигурација \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Текућа конфигурација \(d\boldsymbol{f}\)	Уопштено несиметричан	Једначине равнотеже у референтној конфигурацији
Други PK напон \(\boldsymbol{S}\)	Референтна конфигурација \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Референтна конфигурација \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Симетричан	Метода укупног Лагранжа / хипереластичност

Одржање масе и количине кретања и једначине равнотеже¶

Нека је \(\rho\) густина масе у текућој конфигурацији, а \(\rho_0\) густина масе у референтној конфигурацији. Закон одржања масе \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), заједно са трансформацијом запреминског елемента \(dv = J\, dV\), своди се на локални облик

\[ \rho_0 = J \rho \]

Ово је локална релација одржања масе.

Нека је \(\boldsymbol{g}\) запреминска сила по јединици масе, а \(\boldsymbol{a}\) убрзање. Применом Кошијеве теореме о напону и Гаусове теореме дивергенције на закон одржања количине кретања (Ојлеров први закон кретања) добија се локална једначина равнотеже (једначина кретања) у текућој конфигурацији:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Преписивањем интеграла у референтној конфигурацији помоћу Нансонове формуле и \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) добија се локални облик у референтној конфигурацији:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Два облика су еквивалентна преко правила трансформације напона и \(\rho_0 = J\rho\). Занемаривањем инерцијалног члана добија се

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

што је једначина статичке равнотеже и представља полазну тачку статичке анализе у FrontISTR-у (линеарне и нелинеарне).

Одржање момента количине кретања и симетрија напона¶

Комбиновањем закона одржања момента количине кретања (Ојлеров други закон кретања) са једначином равнотеже изведеном из одржања количине кретања добија се симетрија Кошијевог тензора напона:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Стога у три димензије има шест независних компоненти. Транспоновањем обе стране трансформације \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) и коришћењем несингуларности \(\boldsymbol{F}\) показује се да је и други PK напон симетричан:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

и зато такође има шест независних компоненти. Насупрот томе, први PK напон \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) у општем случају није симетричан; важи само релација \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (односно, \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) је симетричан), а он има девет независних компоненти.

Ове симетрије су основа за изражавање напона као шестокомпонентног вектора у Војтовој нотацији. За конвенције Војтове нотације и формирање матрица материјала погледајте Тензорска нотација и математичке основе и Линеарна еластичност.