Кретање, деформација и деформације¶

Референтна и текућа конфигурација¶

Дефиниција конфигурација¶

Да би се разликовало који се облик у времену користи као основа за опис физичких величина, у овом приручнику користе се две конфигурације.

Референтна конфигурација: недеформисани облик на почетку анализе (време \(0\)), који се назива и почетна конфигурација. Тачка у референтној конфигурацији представља се материјалном координатом \(\boldsymbol{X}\), са запремином \(V\) и површином \(S\).
Текућа конфигурација: деформисани облик у тренутку \(t\). Тачка у текућој конфигурацији представља се просторном координатом \(\boldsymbol{x}\), са запремином \(v\) и површином \(s\).

Кретање се представља као пресликавање између ове две конфигурације, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), а померање се дефинише као \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Нотација зависна од конфигурације (велика/мала слова)¶

Величина слова симбола разликује конфигурацију којој физичка величина припада.

Величине које припадају референтној конфигурацији пишу се великим симболима (на пример, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Величине које припадају текућој конфигурацији пишу се малим симболима (на пример, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
За величине које обухватају обе конфигурације, као што је први Пиола–Кирхофов напон \(\boldsymbol{P}\), користи се уобичајена нотација и оне се по потреби изричито идентификују у тексту.
У теорији малих деформација разлика између две конфигурације нестаје, па се користе само мали симболи (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Градијенти референтне и текуће конфигурације¶

Нотација и значење разликују се у зависности од конфигурације у односу на коју се узима просторни извод.

Градијент референтне конфигурације \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): градијент у односу на материјалне координате. Пример: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Градијент текуће конфигурације \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): градијент у односу на просторне координате. Пример: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Повезани су релацијом \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). За конвенцију временских извода (материјални временски извод \(\dot{(\cdot)}\)) погледајте Тензорску нотацију и математичке основе.

Опис кретања¶

Пресликавање кретања и материјални/просторни опис¶

Ако се континуум посматра као скуп материјалних тачака означених њиховим положајима \(0\) у тренутку \(\boldsymbol{X}\), кретање се представља пресликавањем \(\boldsymbol{X}\) које свакој материјалној тачки \(t\) придружује њен положај \(\boldsymbol{x}\) у тренутку \(\phi\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Према конвенцији да је референтна конфигурација почетна конфигурација, важи \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Према избору независних променљивих разликују се два описа.

Материјални опис (Лагранжов опис): представља физичке величине као функције \((\boldsymbol{X}, t)\). У механици чврстог тела то је природан избор јер је референтна конфигурација задата као фиксан облик.
Просторни опис (Ојлеров опис): представља физичке величине као функције \((\boldsymbol{x}, t)\). То је стандардни опис у механици флуида.

Структурна анализа у FrontISTR-у у основи се заснива на материјалном опису, али метода ажурираног Лагранжа користи и величине у просторном опису, јер се текућа конфигурација користи као нова референтна конфигурација.

Померање, брзина и убрзање¶

Као што је наведено у претходном одељку, померање \(\boldsymbol{u}\) дефинише се са \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Не поставља се претпоставка о његовој величини, па су обухваћене коначне деформације. Вектори брзине и убрзања дефинишу се као материјални временски изводи \(\boldsymbol{u}\) при фиксираној материјалној тачки:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Ове једначине дефинишу брзину и убрзање.

Градијент деформације и тензори деформације¶

Тензор градијента деформације¶

Основна величина у механици континуума са коначним деформацијама је тензор градијента деформације \(\boldsymbol{F}\). То је линеарно пресликавање које инфинитезимални линијски елемент \(d\boldsymbol{X}\) у референтној конфигурацији пресликава у инфинитезимални линијски елемент \(d\boldsymbol{x}\) у текућој конфигурацији, а дефинише се као градијент пресликавања кретања у односу на материјалне координате:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Овако дефинисано (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), у недеформисаном стању важи \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) се широко користи за дефинисање деформације и напона и за трансформацију физичких величина између конфигурација.

Однос запремина¶

Однос одговарајуће инфинитезималне запремине \(dv\) у текућој конфигурацији према инфинитезималној запремини \(dV\) у референтној конфигурацији назива се однос запремина \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Инвертибилност континуума захтева \(J > 0\). Одржање масе изражава се као \(\rho_0 = J\rho\).

Десни и леви Коши–Гринов тензор деформације¶

Пошто градијент деформације \(\boldsymbol{F}\) укључује ротацију крутог тела, мере саме деформације користе величине из којих је ротација крутог тела уклоњена. Десни Коши–Гринов тензор деформације \(\boldsymbol{C}\) (референтна конфигурација) и леви Коши–Гринов тензор деформације \(\boldsymbol{b}\) (текућа конфигурација) дефинишу се као

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Оба су симетрична тензора и имају исте сопствене вредности (квадрате главних истезања). Главне инваријанте хипереластичних функција енергије деформације изражавају се помоћу ових тензора.

Тензори деформације¶

Грин–Лагранжов тензор деформације¶

Као мера деформације у односу на референтну конфигурацију, Грин–Лагранжов тензор деформације \(\boldsymbol{E}\) дефинише се са

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

То је симетричан тензор који представља промену скаларног производа инфинитезималних вектора у референтној конфигурацији, инваријантан је на ротацију крутог тела и у недеформисаном стању задовољава \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). Коришћењем \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) добија се

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Ово изражава деформацију као збир чланова првог и другог реда по градијенту померања; члан другог реда представља геометријску нелинеарност. У методи укупног Лагранжа користи се као радно-конјуговани пар \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Алманзијев тензор деформације¶

Као мера деформације у односу на текућу конфигурацију, Алманзијев тензор деформације \(\boldsymbol{e}\) дефинише се са

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Са Грин–Лагранжовом деформацијом повезан је релацијом \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (повлачење уназад).

Инфинитезимални тензор деформације¶

Када је градијент померања мали (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), члан другог реда Грин–Лагранжове деформације може се занемарити. Пошто тада нестаје разлика између две конфигурације, она се своди на инфинитезимални тензор деформације \(\boldsymbol{\varepsilon}\), при чему се градијент записује у просторним координатама:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR користи ову меру деформације за линеарну статичку анализу, модалну анализу, анализу фреквентног одзива и линеарну динамичку анализу. Анализа коначних деформација користи \(\boldsymbol{E}\) у методи укупног Лагранжа и тензор брзине деформације \(\boldsymbol{D}\) везан за текућу конфигурацију у методи ажурираног Лагранжа.