Напредне формулације елемената¶

Стандардна формулација заснована на померањима, приказана у Формулацији тродимензионалних солидних елемената, при примени на скоро нестишљиве материјале или танкозидне конструкције у којима доминира савијање показује неоправдану прекомерну крутост која се назива locking (запремински locking или смицајни locking). Да би се то избегло, FrontISTR садржи B-bar и F-bar методе, које замењују само запремински део B матрице или градијента деформације, некомпатибилне елементе који уводе унутрашње степене слободе, u-p мешовите елементе који притисак третирају као независно непознато поље, као и MITC љускасте и гредне елементе специјализоване за плоче и гредне конструкције.

У овом поглављу формулације ових напредних и конструктивних елемената систематизоване су по елементима.

B-bar метода¶

Када се осмочворни линеарни хексаедарски елемент користи за квазинестишљив материјал, деформација унутар једног елемента долази у сукоб са условом константне запремине и јавља се прекомерна крутост позната као запремински locking. B-bar метода замењује компоненте B матрице које доприносе запреминском ширењу вредностима процењеним у центру елемента и тако ублажава прекомерно ограничење [Hughes1980].

Нека је \(\bar{\boldsymbol{B}}\) B матрица израчуната из просторних извода функција облика у центру елемента \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), а \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) стандардна B матрица у интеграционој тачки \(\boldsymbol{r}\). У односу померање–деформација за степен слободе \(i\) чвора \(\alpha\), компонентама запреминске деформације \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) додаје се

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

док се за смицајне компоненте \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) користи стандардна \(\boldsymbol{B}\). Матрица крутости елемента и вектор унутрашњих сила склапају се помоћу тако добијене B-bar матрице.

FrontISTR обезбеђује ову формулацију искључиво за осмочворни линеарни хексаедарски елемент (ID елемента 361, систем нумерације елемената) и она се може применити на мале деформације, Total Lagrange и Updated Lagrange.

F-bar метода¶

При коначним деформацијама промена запремине делује нелинеарно преко градијента деформације \(\boldsymbol{F}\), па F-bar метода [deSouzaNeto1996] примењује меру против запреминског locking-а еквивалентну B-bar методи већ на нивоу градијента деформације.

Нека је \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) запремински однос градијента деформације процењеног у центру елемента \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), а \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) запремински однос градијента деформације у интеграционој тачки; градијент деформације у интеграционој тачки замењује се са

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Овим се добија \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), па је запремински однос у целом елементу уједначен са вредношћу у центру елемента. За процену напона и формирање матрице деформација–померање користи се замењени \(\bar{\boldsymbol{F}}\), а тангентна матрица крутости елемента склапа се уз додатне чланове који произлазе из ове замене.

FrontISTR имплементира F-bar методу искључиво за осмочворни линеарни хексаедарски елемент; може се применити и на мале деформације и на нелинеарну геометрију Total Lagrange / Updated Lagrange.

Некомпатибилни елемент¶

Осмочворни линеарни хексаедарски елемент нема степене слободе деформације потребне за мод савијања и зато у проблемима у којима доминира савијање показује locking при савијању. Некомпатибилни елемент [Taylor1976] уводи додатне модове померања унутар елемента да би надокнадио овај недостатак.

Поред померања чворова елемента \(\boldsymbol{u}^e\), уводе се степени слободе некомпатибилних модова \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) који постоје само унутар елемента, укупно 3 смера × 3 мода по елементу, па се поље померања апроксимира као

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Некомпатибилне функције облика у природним координатама \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) узимају се као \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) и \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Иако оне не гарантују континуитет на граници елемента, унутар елемента додају простор способан да репродукује деформацију мода савијања.

Након што се крутост елемента склопи у блоковски систем спољних и унутрашњих степени слободе

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

врши се статичка кондензација којом се унутрашњи степени слободе елиминишу помоћу \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), чиме се добија матрица крутости елемента само за спољне степене слободе

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

која се предаје глобалном склапању.

FrontISTR имплементира некомпатибилни елемент искључиво за осмочворни линеарни хексаедарски елемент (C3D8IC) и може се применити на мале деформације, Total Lagrange и Updated Lagrange.

U-P мешовити елемент¶

Док B-bar и F-bar методе исправљају запреминску компоненту у оквиру формулације засноване на померањима, u-p мешовити (U-P) елемент је мешовита формулација [Bathe1996] која уводи притисак \(\lambda\) као непознато поље независно од померања. Код квазинестишљивих материјала (нпр. гумолики материјали са Poisson-овим коефицијентом веома близу 0.5 или метали након пластичне деформације), покушај испуњавања услова константне запремине само пољем померања доводи до запреминског locking-а; увођењем притиска као независне променљиве овај услов се ублажава.

Напон се раздваја на девијаторску компоненту и притисак и записује као

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Овде је \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) девијаторска еластична матрица добијена уклањањем запреминског дела пропорционалног модулу запреминске еластичности \(K\) из еластичне матрице. Притисак \(\lambda\) и запреминска деформација \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) повезани су условом ограничења преко стишљивости \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Дискретизацијом у којој су померање \(\boldsymbol{u}\) и притисак \(\lambda\) непознате величине добија се систем једначина елемента

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

Овде \(\mathbf{K}_{uu}\) садржи девијаторску еластичну компоненту и, код коначних деформација, геометријску крутост; \(\mathbf{K}_{up}\) је матрица која повезује запреминску деформацију и притисак; а \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) је стабилизациони члан притиска (\(\boldsymbol{N}_p\) је функција облика притиска). Пошто су степени слободе притиска затворени унутар елемента,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

статичком кондензацијом се систем своди на овај облик и глобалном склапању предаје ефективна крутост само спољних (померајних) степени слободе.

FrontISTR имплементира U-P елемент искључиво за осмочворни линеарни хексаедарски елемент, са једним степеном слободе притиска по елементу (константним у елементу). Може се применити на мале деформације, Total Lagrange и Updated Lagrange; у Updated Lagrange формулацији девијаторски напон се ажурира објективном брзином напона (тип Jaumann / Hughes-Winget), а затим се притисак \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) намеће из вредности добијене статичком кондензацијом.

Љускасти елементи¶

За танкозидне плочасте и љускасте конструкције користе се љускасти елементи засновани на Reissner-Mindlin теорији плоча и љуски. Код нижередних елемената заснованих на померањима, са смањењем дебљине попречна смицајна деформација се прецењује механизмом сличним запреминском locking-у (смицајни locking), па крутост за мод савијања дивергентно расте. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) метода [Dvorkin1984] [Bathe1986] избегава овај проблем тако што само компоненте смицајне деформације поново узоркује у унапред дефинисаним tying тачкама унутар елемента и затим интерполира узорковане вредности кроз елемент.

Чворови MITC љускастог елемента налазе се на средњој површини закривљене површине; сваки чвор има 6 степени слободе, три транслације и три ротације око нормале средње површине. Крутост елемента процењује се тродимензионалном Gauss-овом интеграцијом по природним координатама средње површине и правцу дебљине, а дебљина плоче \(h\) задаје се као атрибут елемента при израчунавању конститутивног закона.

FrontISTR обезбеђује MITC3 (ID елемента 731), MITC4 (741) и MITC9 (743), који се третирају као један слој средње површине, као и слојевите љускасте елементе MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 чвора, 3 степена слободе по чвору) и MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 чвора, 3 степена слободе по чвору), са два слоја чворова кроз дебљину плоче. Код слојевитих љускастих елемената чворови имају само три транслациона степена слободе, а мод савијања који одговара ротационим степенима слободе представља се распоредом у два слоја.

Гредни елементи¶

Линијске конструкције као што су носачи и рамови дискретизују се гредним елементима. FrontISTR користи Timoshenko формулацију греде која узима у обзир смицајну деформацију и описује и савијање и смицање као функције померајних и ротационих степени слободе.

Степени слободе чвора гредног елемента обухватају три транслације и три ротације око осе и попречних оса, укупно 6 степени слободе; крутост елемента процењује се једнодимензионалном нумеричком интеграцијом дуж осе греде. Површина пресека \(A\) и други моменти површине \(I\) у правцима савијања и увијања задају се као константе пресека у атрибутима елемента и, заједно са Young-овим модулом \(E\) и модулом смицања \(G\) материјала, формирају коефицијенте крутости за истезање, савијање, увијање и смицање.

FrontISTR обезбеђује двочворни праволинијски гредни елемент (ID елемента 611) и хибридни тетраедарски солид–греда елемент са 4 чвора представљен преко 3 чвора (641, за мешовите степене слободе).

Повезане ставке¶

Формулација тродимензионалних солидних елемената — поређење са стандардном формулацијом
Систем нумерације елемената и библиотека функција облика — ID типова елемената
Библиотека елемената (функција) — смернице за избор сваког елемента