Функције облика за 3D солид елементе¶

Ово поглавље сумира природне координатне системе и експлицитне облике функција облика \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) уведених у Функције облика и апроксимација методом коначних елемената за тродимензионалне солид елементе које FrontISTR користи у анализи континуума. Шест типова елемената су тетраедри првог/другог реда (341/342), троугаоне призме првог/другог реда (351/352) и хексаедри првог/другог реда (361/362). За редослед чворова и бројеве површи у HEC-MW формату мреже видети Библиотеку елемената у референци функција.

Поступак конструисања интеграције елемента из ових функција облика и Јакобијеве детерминанте прати Нумеричку интеграцију. B-bar, F-bar и некомпатибилне формулације за 361, као и функције облика за елементе греде и љуске, обрађене су у Напредним формулацијама елемената.

Природни координатни системи и унутрашњи редослед чворова¶

Функције облика дефинисане су на природним координатама \(\boldsymbol{r}\) сваког елемента. Тродимензионални солид елементи користе следећа три природна координатна система, у зависности од облика елемента.

Хексаедри (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
Тетраедри (341/342): запреминске координате \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), где је \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) и \(L_i \ge 0\). Ако се \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) узме као скуп независних променљивих, онда је \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
Троугаоне призме (351/352): комбинују запреминске координате \((\xi, \eta)\) основног троугла (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) са аксијалном координатом \(\zeta \in [-1, 1]\) да би се формирало \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Помоћна величина \(a = 1 - \xi - \eta\) користи се као трећа запреминска координата на основи.

Код елемената првог реда, нумерисање чворова елемента исто је у HEC-MW улазном формату и у унутрашњем формату. Код елемената другог реда, конвенције за редослед чворова на срединама ивица се разликују. FrontISTR прихвата HEC-MW формат као улаз (темени чворови се наводе око елемента, а затим чворови на срединама ивица по редоследу ивица 1-2, 2-3, …), док су функције облика у библиотеци елемената имплементиране уз претпоставку другачијег редоследа чворова.

Разлика између два формата решава се помоћу hecmw2fstr_mesh_conv, који се позива одмах након учитавања мреже и преуређује чворове сваког елемента. Међу тродимензионалним солид елементима конвертују се следећа два типа.

Тип елемента	Табела конверзије	Опис
342 (тетраедар другог реда)	`Table342`	Преуређује 10 чворова у \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (троугаона призма другог реда)	`Table352`	Преуређује 15 чворова у \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Пошто се преуређивање врши директно над низом који чува повезаност елемената, сви наредни позиви библиотеци елемената користе унутрашњи редослед чворова FrontISTR-а. За хексаедарски елемент другог реда 362 не постоји табела конверзије, јер је редослед чворова на срединама ивица исти у HEC-MW улазу и у унутрашњем формату FrontISTR-а. При излазу резултата, инверзна конверзија fstr2hecmw_mesh_conv враћа HEC-MW редослед чворова пре уписа, па корисници треба да познају само HEC-MW формат и за улаз и за излаз. Бројеви чворова у функцијама облика у наставку користе конвертовани унутрашњи формат FrontISTR-а.

Функције облика за елементе првог реда¶

За тетраедарски елемент првог реда (341), функције облика су саме запреминске координате:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

За елемент троугаоне призме првог реда (351), функције облика су производи линеарних функција облика основног троугла (\(a, \xi, \eta\)) и линеарних аксијалних функција облика (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

За хексаедарски елемент првог реда (361), функције облика су тензорски производи линеарних функција облика у три координатна смера:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Овде су \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) вредности природних координата чвора \(\alpha\) (свака компонента је \(\pm 1\)).

Функције облика за елементе другог реда¶

За тетраедарски елемент другог реда (342), функције облика су подељене на четири темена чвора и шест чворова на срединама ивица:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Чворови 5–10 на срединама ивица одговарају редом средиштима ивица 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 и 3-4.

Елемент троугаоне призме другог реда (352) састоји се од шест темених чворова, шест чворова на срединама ивица троугаоних страна и три чвора на срединама аксијалних ивица:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Чворови 7–9 на срединама ивица одговарају средиштима ивица доњег троугла (\(\zeta = -1\)), чворови 10–12 средиштима ивица горњег троугла (\(\zeta = +1\)), а чворови 13–15 средиштима аксијалних ивица.

Хексаедарски елемент другог реда (362) је елемент са 20 чворова из Serendipity породице. Нека су вредности природних координата чвора \(\alpha\) једнаке \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). За темене чворове (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), при чему је свака компонента \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

За чворове на срединама ивица (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), при чему је једна од три природне координате једнака \(0\), а друге две \(\pm 1\)), чворови са \(\xi_\alpha = 0\) (ивице усмерене у правцу \(\xi\)) имају

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Чворови на срединама ивица чији је смер ивице дуж осе \(\eta\) или \(\zeta\) задају се аналогно, при чему се одговарајућа природна координата елиминише квадратним чланом.

Повезане теме¶

Функције облика и апроксимација методом коначних елемената — Математичка дефиниција функција облика \(N_\alpha^e\)
Просторни изводи функција облика — Изводи функција облика по глобалним координатама и Јакобијан
Нумеричка интеграција — Интеграционе тачке, тежине и приближна интеграција елемента
Напредне формулације елемената — B-bar, F-bar, некомпатибилни елементи, љуске и греде
Библиотека елемената (функције) — Редослед чворова и бројеви површи у HEC-MW формату
Списак симбола физичких величина